Determine se cada série abaixo converge ou diverge. Caso seja convergente, calcule sua soma.
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n}+2^{n}\right)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a série
\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(\frac{1}{n}+2^{n}\Bigr)
converge ou diverge. O conteúdo é séries numéricas e vamos usar critérios de convergência para séries harmônicas e geométricas.

Passo 2

Pela linearidade de séries, podemos separar em duas séries conhecidas:
\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(\frac{1}{n}+2^{n}\Bigr) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} + \sum_{n=1}^{\infty}2^{n}.

Passo 3

A série
\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}
é a série harmônica. É clássico que ela diverge, pois seus termos não tendem a zero suficientemente rápido (pode-se usar comparação com a integral de 1/x ou o teste da integral).

Passo 4

A série
\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}2^{n}
é uma série geométrica com razão r=2, onde \lvert r\rvert>1. Nesse caso os termos não tendem a zero e a série também diverge.

Passo 5

Como cada uma das séries separadas diverge, a série original
\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\bigl(\tfrac1n+2^n\bigr)
não pode convergir.

Resposta

A série diverge.

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