Determine se cada série abaixo converge ou diverge. Caso seja convergente, calcule sua soma.
Passo 1
O enunciado pede para estudar a série
e determinar se ela converge ou diverge. Se convergir, calcular sua soma. O conteúdo principal é identificar que se trata de uma série telescópica por meio de frações parciais.
Passo 2
Vamos escrever o termo geral em frações parciais. Note que
logo buscamos constantes
Multiplicando em comum denominador obtemos
Para isso ser igual a
para todo
, precisamos de
Daí
. Portanto
Passo 3
Definindo a soma parcial até
como
substituímos a decomposição:
Observe que há cancelamento telescópico:
Passo 4
Para verificar a convergência, tomamos o limite de
quando
:
Como o limite existe e é finito, a série converge e sua soma é
.
Resposta
A série converge e