Determine se cada série abaixo converge ou diverge. Caso seja convergente, calcule sua soma.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{4 n^{2}-1}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{4n^{2}-1}
e determinar se ela converge ou diverge. Se convergir, calcular sua soma. O conteúdo principal é identificar que se trata de uma série telescópica por meio de frações parciais.

Passo 2

Vamos escrever o termo geral em frações parciais. Note que
4n^{2}-1 = (2n-1)(2n+1),
logo buscamos constantes A\) e \(B\) tais que \[\frac{1}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{A}{2n-1} + \frac{B}{2n+1}.
Multiplicando em comum denominador obtemos
1 = A(2n+1) + B(2n-1) = (2n)(A+B) + (A - B).
Para isso ser igual a 1 para todo n, precisamos de
\begin{cases} A + B = 0,\\\ A - B = 1. \end{cases}
Daí A = \tfrac12\] e \(B = -\tfrac12. Portanto
\frac{1}{4n^{2}-1} = \frac{1}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{1}{2}\Bigl(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\Bigr).

Passo 3

Definindo a soma parcial até N como
S_{N} = \sum_{n=1}^{N} \frac{1}{4n^{2}-1},
substituímos a decomposição:
S_{N} = \frac{1}{2}\sum_{n=1}^{N}\Bigl(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\Bigr).
Observe que há cancelamento telescópico:
S_{N} = \frac{1}{2}\Bigl(1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{5} + \cdots + \frac{1}{2N-1} - \frac{1}{2N+1}\Bigr) = \frac{1}{2}\Bigl(1 - \frac{1}{2N+1}\Bigr).

Passo 4

Para verificar a convergência, tomamos o limite de S_{N} quando N\to\infty:
\lim_{N\to\infty} S_{N} = \frac{1}{2}\Bigl(1 - 0\Bigr) = \frac{1}{2}.
Como o limite existe e é finito, a série converge e sua soma é \tfrac12.

Resposta

A série converge e
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{4n^{2}-1} = \frac{1}{2}.

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