Usando os testes de comparação, determine se as séries abaixo convergem ou divergem.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3}{n 2^{n}}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série de termos positivos
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3}{n\,2^{n}}
usando testes de comparação. O conteúdo aqui é séries de termos positivos e vamos usar a comparação com uma série geométrica conhecida.

Passo 2

Observe que, para todo n\ge1, temos
\frac{3}{n\,2^{n}}\;\le\;\frac{3}{2^{n}}
pois n\ge1 implica n\,2^n\ge2^n.

Passo 3

A série geométrica
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3}{2^{n}} \;=\;3\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(\tfrac12\Bigr)^{n}
converge, pois para |r|<1 vale
\sum_{n=1}^{\infty}r^n=\frac{r}{1-r},
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\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3}{2^{n}} =3\cdot\frac{\tfrac12}{1-\tfrac12}=3.

Passo 4

Pelo teste da comparação direta, como
0\le\frac{3}{n\,2^n}\le\frac{3}{2^n}
e \sum3/2^n converge, segue que
\sum3/(n\,2^n) também converge.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3}{n\,2^{n}} converge.

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