Determine se cada série converge ou diverge e calcule sua soma caso convirja.
\sum_{n=1}^{\infty}\left(5^{1 / n}-5^{1 /(n+1)}\right)

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty}\left(5^{1/n}-5^{1/(n+1)}\right)
converge ou diverge, e calcular a soma caso converja.
Informações dadas:
  • O termo geral é \,a_n=5^{1/n}-5^{1/(n+1)}.
  • A soma pedida é a soma infinita dos termos a partir de n=1.

Passo 2

Vamos usar o conceito de soma parcial (isso é essencial para séries). Defina a soma parcial de ordem N por
S_N=\sum_{n=1}^{N}\left(5^{1/n}-5^{1/(n+1)}\right).
A ideia é calcular S_N explicitando os primeiros termos para ver um padrão de cancelamento (técnica chamada telescoping). Escrevendo alguns termos:
\begin{aligned} S_N &= \bigl(5^{1/1}-5^{1/2}\bigr) + \bigl(5^{1/2}-5^{1/3}\bigr) + \bigl(5^{1/3}-5^{1/4}\bigr) + \cdots + \bigl(5^{1/N}-5^{1/(N+1)}\bigr). \end{aligned}

Passo 3

Observe o cancelamento entre termos consecutivos: -5^{1/2} cancela com +5^{1/2}, -5^{1/3} cancela com +5^{1/3}, e assim por diante. Portanto sobra apenas o primeiro termo positivo e o último termo negativo não cancelado. Em forma fechada:
S_N = 5^{1/1} - 5^{1/(N+1)}.
Ou seja,
S_N = 5 - 5^{1/(N+1)}.

Passo 4

Para decidir convergência, precisamos calcular o limite das somas parciais quando N\to\infty:
\lim_{N\to\infty} S_N = \lim_{N\to\infty}\left(5 - 5^{1/(N+1)}\right) = 5 - \lim_{N\to\infty}5^{1/(N+1)}.
Justificativa do último limite: como a função x\mapsto e^{x} é contínua, escrevemos
5^{1/(N+1)} = \exp\!\left(\frac{\ln 5}{N+1}\right).
Como \displaystyle\lim_{N\to\infty}\frac{\ln 5}{N+1}=0, então
\lim_{N\to\infty}5^{1/(N+1)} = \exp(0)=1.

Passo 5

Substituindo na expressão de S_N,
\lim_{N\to\infty} S_N = 5 - 1 = 4.
Portanto as somas parciais têm limite finito; a série converge e sua soma é 4.
Dica prática para a prova: ao ver uma diferença do tipo \,b_n-b_{n+1}, tente sempre escrever a soma parcial — é muito comum formar uma série telescópica que leva a um cancelamento simples. Um exemplo simples e análogo é \sum_{n=1}^\infty\bigl(\tfrac{1}{n}-\tfrac{1}{n+1}\bigr), cuja soma também é 1.

Resposta

Converge; soma = 4

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