Determine se cada série converge ou diverge e calcule sua soma caso convirja.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
converge ou diverge, e calcular a soma caso converja.
Informações dadas:
Informações dadas:
- O termo geral é
. - A soma pedida é a soma infinita dos termos a partir de
.
Passo 2
Vamos usar o conceito de soma parcial (isso é essencial para séries). Defina a soma parcial de ordem
por
A ideia é calcular
explicitando os primeiros termos para ver um padrão de cancelamento (técnica chamada telescoping). Escrevendo alguns termos:
Passo 3
Observe o cancelamento entre termos consecutivos:
cancela com
,
cancela com
, e assim por diante. Portanto sobra apenas o primeiro termo positivo e o último termo negativo não cancelado. Em forma fechada:
Ou seja,
Passo 4
Para decidir convergência, precisamos calcular o limite das somas parciais quando
:
Justificativa do último limite: como a função
é contínua, escrevemos
Como
, então
Passo 5
Substituindo na expressão de
,
Portanto as somas parciais têm limite finito; a série converge e sua soma é
.
Dica prática para a prova: ao ver uma diferença do tipo
, tente sempre escrever a soma parcial — é muito comum formar uma série telescópica que leva a um cancelamento simples. Um exemplo simples e análogo é
, cuja soma também é
.
Resposta
Converge; soma =