Determine se as séries abaixo convergem ou divergem. Em caso de convergência, encontre a soma da série, se possível.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n-1)!}{n!}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n-1)!}{n!}
converge ou diverge. Se convergir, encontrar a soma. Informações dadas:
  • O termo geral é \frac{(n-1)!}{n!} para n=1,2,3,\ldots.
  • A pergunta é única: convergência/divergência e soma caso exista.

Passo 2

Vou simplificar o termo geral usando a definição e uma propriedade básica de fatorial. Lembrete: para todo inteiro n\ge1,
n! = n\cdot (n-1)!.
Isso significa que podemos escrever
\frac{(n-1)!}{n!} = \frac{(n-1)!}{n\cdot (n-1)!}.
Como (n-1)! no numerador e denominador se cancelam (para n\ge1 ambos são bem definidos), obtemos
\frac{(n-1)!}{n!} = \frac{1}{n}.

Passo 3

Substituindo na série, temos
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n-1)!}{n!} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}.
Esta é a conhecida série harmônica.

Passo 4

Agora vamos lembrar um resultado fundamental: a série harmônica
\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n}
diverge. Vou provar isso de forma elementar (sem cálculo), usando o método de agrupamento (prova clássica).
Considere as somas parciais agrupadas assim:
\begin{aligned} S &= 1 + \frac{1}{2} + \left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right) + \left(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}\right) + \cdots \\\ &= 1 + \frac{1}{2} + G_1 + G_2 + \cdots, \end{aligned}
onde cada grupo G_k contém os termos de índice de 2^{k-1}+1 até 2^{k}. Observe que:
  • No grupo G_1 (que é \frac{1}{3}+\frac{1}{4}), cada termo é \ge \frac{1}{4}, e há 2 termos, então G_1 \ge 2\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{2}.
  • No grupo G_2 (que é \frac{1}{5}+\cdots+\frac{1}{8}), cada termo é \ge \frac{1}{8}, e há 4 termos, então G_2 \ge 4\cdot\frac{1}{8}=\frac{1}{2}.
  • Em geral, no grupo G_k (com índices de 2^{k-1}+1 até 2^{k}) cada termo é \ge \frac{1}{2^{k}} e existem 2^{k-1} termos, de modo que
G_k \ge 2^{k-1}\cdot \frac{1}{2^{k}} = \frac{1}{2}.

Passo 5

Somando as estimativas dos grupos, as somas parciais após m grupos satisfazem
S_{2^{m}} \ge 1 + \frac{1}{2} + \underbrace{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{2}}_{m-1\\ \text{vezes}} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{m-1}{2} = \frac{m+1}{2}.
Como m pode ser arbitrariamente grande, S_{2^{m}} cresce sem limite quando m\to\infty. Portanto as somas parciais da série harmônica não se aproximam de um número finito: a série diverge.

Passo 6

Conclusão: como a série original é exatamente a série harmônica \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n}, e esta série diverge, segue que a série dada diverge. Logo não existe soma finita.

Resposta

A série diverge; não converge (é a série harmônica \sum_{n=1}^{\infty} \tfrac{1}{n}), portanto não tem soma finita.

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