Determine se as séries abaixo convergem ou divergem. Em caso de convergência, encontre a soma da série, se possível. \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n-1)!}{n!}
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n-1)!}{n!}
converge ou diverge. Se convergir, encontrar a soma. Informações dadas:
O termo geral é \frac{(n-1)!}{n!} para n=1,2,3,\ldots.
A pergunta é única: convergência/divergência e soma caso exista.
Passo 2
Vou simplificar o termo geral usando a definição e uma propriedade básica de fatorial. Lembrete: para todo inteiro n\ge1,
n! = n\cdot (n-1)!.
Isso significa que podemos escrever
\frac{(n-1)!}{n!} = \frac{(n-1)!}{n\cdot (n-1)!}.
Como (n-1)! no numerador e denominador se cancelam (para n\ge1 ambos são bem definidos), obtemos
Agora vamos lembrar um resultado fundamental: a série harmônica \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n}
diverge. Vou provar isso de forma elementar (sem cálculo), usando o método de agrupamento (prova clássica).
Como m pode ser arbitrariamente grande, S_{2^{m}} cresce sem limite quando m\to\infty. Portanto as somas parciais da série harmônica não se aproximam de um número finito: a série diverge.
Passo 6
Conclusão: como a série original é exatamente a série harmônica \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n}, e esta série diverge, segue que a série dada diverge. Logo não existe soma finita.
Resposta
A série diverge; não converge (é a série harmônica \sum_{n=1}^{\infty} \tfrac{1}{n}), portanto não tem soma finita.