Determine se cada série converge ou diverge e calcule sua soma caso convirja.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
converge ou diverge, e — caso convirja — calcular sua soma. As informações relevantes são:
- A série é dada termo a termo por
. - Quer-se estudar a convergência da soma infinita
e, se convergente, achar o valor da soma.
Passo 2
Introduzir a soma parcial e a estratégia. Defina a soma parcial de ordem
:
A estratégia é calcular
explicitamente e então tomar o limite
. Este tipo de série com termos da forma
costuma “telescopar” — isto é, muitos termos internos se cancelam — então vale a pena tentar expandir a soma parcial para ver esse cancelamento.
Passo 3
Expandir a soma parcial para ver o telescopamento. Escrevendo os primeiros termos de
:
Veja que
aparece positivo no primeiro parêntese e negativo no segundo,
aparece positivo no segundo e negativo no terceiro, e assim por diante. Portanto todos os termos intermédios se cancelam, sobrando apenas as extremidades. Logo:
Passo 4
Avaliar o limite das somas parciais quando
. A série converge se e somente se a sequência
tiver limite finito quando
. Temos
Sabemos que a função
é contínua, estritamente crescente e tem limites
Portanto
Assim
Passo 5
Calcular
. Pelo conhecimento padrão das razões trigonométricas,
logo
Substituindo no limite obtido:
Passo 6
Conclusão sobre convergência e soma. Como a sequência de somas parciais
tende a um número finito (
), a série converge e sua soma vale
. Outra forma intuitiva de ver convergência: os
formam uma sequência monótona crescente (cada termo da soma é positivo porque
é crescente) e limitada acima por
, logo converge por teorema da convergência monotônica.
Resposta
A série converge e
.