Determine se cada série converge ou diverge e calcule sua soma caso convirja.
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\tan ^{-1}(n+1)-\tan ^{-1}(n)\right)

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\tan^{-1}(n+1)-\tan^{-1}(n)\right)
converge ou diverge, e — caso convirja — calcular sua soma. As informações relevantes são:
  • A série é dada termo a termo por a_n=\tan^{-1}(n+1)-\tan^{-1}(n).
  • Quer-se estudar a convergência da soma infinita \sum_{n=1}^{\infty} a_n e, se convergente, achar o valor da soma.

Passo 2

Introduzir a soma parcial e a estratégia. Defina a soma parcial de ordem N:
S_N=\sum_{n=1}^{N}\left(\tan^{-1}(n+1)-\tan^{-1}(n)\right).
A estratégia é calcular S_N explicitamente e então tomar o limite N\to\infty. Este tipo de série com termos da forma b_{n+1}-b_n costuma “telescopar” — isto é, muitos termos internos se cancelam — então vale a pena tentar expandir a soma parcial para ver esse cancelamento.

Passo 3

Expandir a soma parcial para ver o telescopamento. Escrevendo os primeiros termos de S_N:
\begin{aligned} S_N &= \big(\tan^{-1}(2)-\tan^{-1}(1)\big) \\\ &\quad +\big(\tan^{-1}(3)-\tan^{-1}(2)\big) \\\ &\quad +\big(\tan^{-1}(4)-\tan^{-1}(3)\big) \\\ &\quad +\cdots\\\ &\quad +\big(\tan^{-1}(N+1)-\tan^{-1}(N)\big). \end{aligned}
Veja que \tan^{-1}(2) aparece positivo no primeiro parêntese e negativo no segundo, \tan^{-1}(3) aparece positivo no segundo e negativo no terceiro, e assim por diante. Portanto todos os termos intermédios se cancelam, sobrando apenas as extremidades. Logo:
S_N=\tan^{-1}(N+1)-\tan^{-1}(1).

Passo 4

Avaliar o limite das somas parciais quando N\to\infty. A série converge se e somente se a sequência (S_N) tiver limite finito quando N\to\infty. Temos
\lim_{N\to\infty} S_N=\lim_{N\to\infty}\big(\tan^{-1}(N+1)-\tan^{-1}(1)\big).
Sabemos que a função \tan^{-1}(x) é contínua, estritamente crescente e tem limites
\lim_{x\to\infty}\tan^{-1}(x)=\frac{\pi}{2}, \qquad \lim_{x\to -\infty}\tan^{-1}(x)=-\frac{\pi}{2}.
Portanto
\lim_{N\to\infty}\tan^{-1}(N+1)=\frac{\pi}{2}.
Assim
\lim_{N\to\infty} S_N=\frac{\pi}{2}-\tan^{-1}(1).

Passo 5

Calcular \tan^{-1}(1). Pelo conhecimento padrão das razões trigonométricas,
\tan\left(\frac{\pi}{4}\right)=1,
logo
\tan^{-1}(1)=\frac{\pi}{4}.
Substituindo no limite obtido:
\lim_{N\to\infty} S_N=\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}.

Passo 6

Conclusão sobre convergência e soma. Como a sequência de somas parciais S_N tende a um número finito ( \pi/4), a série converge e sua soma vale \pi/4. Outra forma intuitiva de ver convergência: os S_N formam uma sequência monótona crescente (cada termo da soma é positivo porque \tan^{-1} é crescente) e limitada acima por \pi/2-\tan^{-1}(1), logo converge por teorema da convergência monotônica.

Resposta

A série converge e \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\tan^{-1}(n+1)-\tan^{-1}(n)\right)=\frac{\pi}{4}.

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