Determine se cada série converge ou diverge e calcule sua soma caso convirja.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{5^{n}+2^{n}}{6^{n}}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas sobre a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{5^{n}+2^{n}}{6^{n}}.
Perguntas explícitas:
  • Determinar se a série converge ou diverge.
  • Se convergir, calcular a soma.
Informações dadas e observações iniciais:
  • O enunciado fornece a sequência geral dos termos: \dfrac{5^{n}+2^{n}}{6^{n}} para n=1,2,\dots.
  • Cada termo é não negativo (pois 5^{n}, 2^{n} e 6^{n} são positivos).
  • É possível manipular algebricamente o termo geral antes de aplicar critérios de convergência.

Passo 2

Reescrevo o termo geral de modo mais transparente usando álgebra simples:
\frac{5^{n}+2^{n}}{6^{n}}=\frac{5^{n}}{6^{n}}+\frac{2^{n}}{6^{n}}=\left(\frac{5}{6}\right)^{n}+\left(\frac{2}{6}\right)^{n}=\left(\frac{5}{6}\right)^{n}+\left(\frac{1}{3}\right)^{n}.
Isto mostra que a série original é a soma de duas séries cujos termos são potências.

Passo 3

Uso a linearidade da soma de séries (válida aqui porque todos os termos são não negativos, então não há problemas de rearranjo):
\sum_{n=1}^{\infty}\left[\left(\frac{5}{6}\right)^{n}+\left(\frac{1}{3}\right)^{n}\right] = \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{5}{6}\right)^{n} + \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{3}\right)^{n}.
Logo, basta analisar a convergência e a soma de cada uma das duas séries geométricas à direita.

Passo 4

Lembrete didático sobre séries geométricas (a parte que você precisa usar na prova):
  • Uma série geométrica com razão r é \sum_{n=1}^{\infty} r^{n}.
  • Para r\neq 1, a soma parcial até N é
S_{N}=\sum_{n=1}^{N} r^{n}=r\frac{1-r^{N}}{1-r}.
Explicando: multiplica-se ambos os lados apropriados e subtrai para eliminar termos intermediários — é uma técnica padrão para somar potências repetidas.
  • Se |r|<1, então \lim_{N\to\infty} r^{N}=0, portanto a soma infinita converge e vale
\sum_{n=1}^{\infty} r^{n}=\frac{r}{1-r}.
  • Se |r|\ge 1, a série diverge (porque os termos não vão a zero ou os parciais explodem).
Exemplo rápido: para r=\tfrac{1}{2},
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^{n}=\frac{1/2}{1-1/2}=\frac{1/2}{1/2}=1.

Passo 5

Aplicando a regra ao primeiro termo com r=\dfrac{5}{6}. Como \left|\dfrac{5}{6}\right|<1, a série converge e sua soma é
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{5}{6}\right)^{n}=\frac{\dfrac{5}{6}}{1-\dfrac{5}{6}}.
Calculando passo a passo (sem calculadora): 1-\dfrac{5}{6}=\dfrac{1}{6}. Assim
\frac{\dfrac{5}{6}}{\dfrac{1}{6}}=\dfrac{5}{6}\cdot\dfrac{6}{1}=5.

Passo 6

Agora o segundo termo com r=\dfrac{1}{3}. Como \left|\dfrac{1}{3}\right|<1, essa série também converge e
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{3}\right)^{n}=\frac{\dfrac{1}{3}}{1-\dfrac{1}{3}}.
Calculemos: 1-\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}. Então
\frac{\dfrac{1}{3}}{\dfrac{2}{3}}=\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{3}{2}=\dfrac{1}{2}.

Passo 7

Somando as duas somas obtidas:
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{5^{n}+2^{n}}{6^{n}} = 5+\frac{1}{2}=\frac{10}{2}+\frac{1}{2}=\frac{11}{2}.
Portanto a série converge (pois ambas as séries geométricas componentes convergem) e sua soma é \dfrac{11}{2}.

Resposta

Converge.
Soma = \dfrac{11}{2}

Exercícios relacionados