Determine se cada série converge ou diverge.
(d) sumk=1^infty (k+1)^2(k-1)!

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série sumk=1^infty (k+1)^2(k-1)! converge ou diverge. O assunto é séries numéricas e, por ter um fatorial no denominador, vamos usar o teste da razão.

Passo 2

Definimos o termo geral da série como ak = (k+1)^2(k-1)!. Note que para k>=1 o fatorial (k-1)! está bem definido (lembre que 0! = 1), então não há problema de divisão por zero.

Passo 3

O teste da razão para termos positivos diz que se L = limktoinfty ak+1ak < 1, então a série converge absolutamente. Vamos calcular:
ak+1ak = (k+2)^2/(k!)(k+1)^2/((k-1)!) = (k+2)^2(k+1)^2 cdot (k-1)!k! = (k+2)^2(k+1)^2 cdot 1k
Agora, quando ktoinfty, temos
(k+2)^2(k+1)^2 to 1 e 1k to 0,
logo
L = limktoinfty ak+1ak = 0

Passo 4

Como o limite L = 0 é menor que 1, pelo teste da razão a série converge absolutamente, e portanto converge.

Resposta

A série converge absolutamente (logo, converge).

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