Seja a função
Verifique se f é contínua em
.
Verifique se f é contínua em
Passo 1
O enunciado define a função por partes
queremos verificar a continuidade em (0,0). O conteúdo é continuidade de funções de duas variáveis e vamos precisar calcular limites e usar a definição de continuidade.
Passo 2
Para que f seja contínua em (0,0) precisamos que
Se esse limite não existir ou não for zero, f não é contínua.
Passo 3
Uma forma prática de mostrar que o limite não existe (ou não é 0) é escolher caminhos diferentes. Pelo caminho y=x, substituindo na expressão de f para (x,y)≠(0,0) temos:
Quando x\to0, f(x,x)\to1.
Passo 4
Como pelo caminho y=x o limite vale 1, diferente de 0, o limite de f(x,y) quando (x,y)\to(0,0) não existe (ou não é igual a f(0,0)). Logo f não é contínua em (0,0).
Resposta
A função não é contínua em (0,0). Pelo caminho y=x, o limite de f(x,y) é 1 ≠ f(0,0)=0.