Seja a função f(x, y)= 2 x yx^2+y^2, & se (x, y) neq(0,0) 0, & se (x, y)=(0,0)
Verifique se f é contínua em (0,0).

Passo 1

O enunciado define a função por partes
f(x,y)= 2xyx^2+y^2,&(x,y)neq(0,0) 0,&(x,y)=(0,0)
queremos verificar a continuidade em (0,0). O conteúdo é continuidade de funções de duas variáveis e vamos precisar calcular limites e usar a definição de continuidade.

Passo 2

Para que f seja contínua em (0,0) precisamos que
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=f(0,0)=0
Se esse limite não existir ou não for zero, f não é contínua.

Passo 3

Uma forma prática de mostrar que o limite não existe (ou não é 0) é escolher caminhos diferentes. Pelo caminho y=x, substituindo na expressão de f para (x,y)≠(0,0) temos:
f(x,x)=2xcdot xx^2+x^2=2x^22x^2=1
Quando x\to0, f(x,x)\to1.

Passo 4

Como pelo caminho y=x o limite vale 1, diferente de 0, o limite de f(x,y) quando (x,y)\to(0,0) não existe (ou não é igual a f(0,0)). Logo f não é contínua em (0,0).

Resposta

A função não é contínua em (0,0). Pelo caminho y=x, o limite de f(x,y) é 1 ≠ f(0,0)=0.

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