Determine se cada série converge ou diverge. Justifique a sua resposta e apresente a soma de cada série convergente, se houver.
(a) sumk=1^infty (-1)^k+2^3 k3^2 k-2
( ) diverge ( ) converge para …

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente determinar se a série sumk=1^infty (-1)^k+2^3 k3^2 k-2 converge ou diverge. Para isso, vamos usar conhecimentos sobre séries infinitas e os testes de convergência. Precisamos analisar os termos da série e ver se a soma tende a um valor finito ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão geral da série para facilitar a análise. A série é:
sumk=1^infty (-1)^k + 2^3k3^2k - 2
Vamos separar os dois termos no numerador:
sumk=1^infty ( (-1)^k3^2k - 2 + 2^3k3^2k - 2 )
Isso nos dá duas séries separadas para analisar.

Passo 3

Vamos analisar a primeira série:
sumk=1^infty (-1)^k3^2k - 2
Podemos simplificar o denominador:
3^2k - 2 = 3^2k cdot 3^-2 = 3^2k9
Então, a série fica:
sumk=1^infty (-1)^k cdot 93^2k = 9 sumk=1^infty (-1)^k9^k = 9 sumk=1^infty ( -19 )^k
Essa é uma série geométrica com razão r = -19. Sabemos que uma série geométrica converge se |r| < 1, o que é verdade aqui.

Passo 4

Agora, vamos calcular a soma dessa série geométrica. A fórmula da soma de uma série geométrica infinita é:
S = a11 - r
Onde a1 é o primeiro termo. Aqui, a1 = -19 e r = -19.
Então,
S = -191 - ( -19 ) = -191 + 19 = -19109 = -110
Multiplicando pela constante 9 que tínhamos antes:
9 times ( -110 ) = -910

Passo 5

Agora, vamos analisar a segunda série:
sumk=1^infty 2^3k3^2k - 2
Simplificando o denominador como antes:
3^2k - 2 = 3^2k9
Então, a série fica:
sumk=1^infty 2^3k cdot 93^2k = 9 sumk=1^infty ( 2^33^2 )^k = 9 sumk=1^infty ( 89 )^k
Essa também é uma série geométrica, com razão r = 89. Como |r| = 89 < 1, essa série também converge.

Passo 6

Vamos calcular a soma dessa segunda série geométrica:
S = a11 - r
Aqui, a1 = 89 e r = 89.
Então,
S = 891 - 89 = 8919 = 8
Multiplicando pela constante 9:
9 times 8 = 72

Passo 7

Agora, juntando os resultados das duas séries:
  • Primeira série: - 910
  • Segunda série: 72
Somando ambas:
- 910 + 72 = -9 + 72010 = 71110 = 71,1

Resposta

A série sumk=1^infty (-1)^k+2^3 k3^2 k-2 converge e sua soma é 71,1.

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