Determine se cada série converge ou diverge. Justifique a sua resposta e apresente a soma de cada série convergente, se houver.
(a)
( ) diverge ( ) converge para …
(a)
( ) diverge ( ) converge para …
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente determinar se a série
converge ou diverge. Para isso, vamos usar conhecimentos sobre séries infinitas e os testes de convergência. Precisamos analisar os termos da série e ver se a soma tende a um valor finito ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão geral da série para facilitar a análise. A série é:
Vamos separar os dois termos no numerador:
Isso nos dá duas séries separadas para analisar.
Passo 3
Vamos analisar a primeira série:
Podemos simplificar o denominador:
Então, a série fica:
Essa é uma série geométrica com razão
. Sabemos que uma série geométrica converge se
, o que é verdade aqui.
Passo 4
Agora, vamos calcular a soma dessa série geométrica. A fórmula da soma de uma série geométrica infinita é:
Onde
é o primeiro termo. Aqui,
e
.
Então,
Multiplicando pela constante 9 que tínhamos antes:
Passo 5
Agora, vamos analisar a segunda série:
Simplificando o denominador como antes:
Então, a série fica:
Essa também é uma série geométrica, com razão
. Como
, essa série também converge.
Passo 6
Vamos calcular a soma dessa segunda série geométrica:
Aqui,
e
.
Então,
Multiplicando pela constante 9:
Passo 7
Agora, juntando os resultados das duas séries:
- Primeira série:
- Segunda série:
Somando ambas:
Resposta
A série
converge e sua soma é 71,1.