Determine se a sequência dada é crescente, decrescente ou não monótona. A sequência é limitada?
(d) n!2^nn=1^infty

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema pede pra gente descobrir se a sequência n!2^nn=1^infty é crescente, decrescente ou não monótona. Além disso, precisamos verificar se essa sequência é limitada. Para isso, vamos usar conceitos de progressões e propriedades de limites. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a sequência ser crescente, decrescente ou não monótona:
  • Crescente: Cada termo é maior que o anterior.
  • Decrescente: Cada termo é menor que o anterior.
  • Não monótona: Não segue um padrão consistente de aumento ou diminuição.
Também, uma sequência é limitada se existe um número que ela nunca ultrapassa, seja por cima ou por baixo.

Passo 3

Agora, vamos analisar a sequência n!2^n. O que temos aqui?
  • n! (fatorial de n): Cresce muito rápido conforme n aumenta.
  • 2^n (2 elevado a n): Também cresce exponencialmente, mas precisamos ver qual cresce mais rápido.
Vamos calcular alguns termos para ter uma ideia:
  • Para n = 1: 1!2^1 = 12 = 0,5
  • Para n = 2: 2!2^2 = 24 = 0,5
  • Para n = 3: 68 = 0,75
  • Para n = 4: 2416 = 1,5
  • Para n = 5: 12032 = 3,75
Parece que a sequência está aumentando!

Passo 4

Vamos verificar matematicamente se a sequência é crescente. Para isso, vamos comparar o termo geral com o próximo termo:
(n+1)!2^n+1 = (n+1) cdot n!2 cdot 2^n = (n+1)2 cdot n!2^n = n+12 cdot an
Onde an = n!2^n.
Para a sequência ser crescente, precisamos que n+12 > 1:
n+12 > 1 implies n+1 > 2 implies n > 1
Isso significa que, para n > 1, cada termo é maior que o anterior. Então a sequência é crescente a partir de n = 2.

Passo 5

Agora, vamos ver se a sequência é limitada. Observando os termos que calculamos e sabendo que n! cresce mais rápido que 2^n, podemos dizer que:
limn to infty n!2^n = infty
Isso indica que a sequência não tem um limite superior; ela cresce sem parar.

Resposta

A sequência n!2^n é crescente para n > 1 e não é limitada, pois cresce indefinidamente.

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