Determine se a sequência dada é crescente, decrescente ou não monótona. A sequência é limitada?
(d)
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema pede pra gente descobrir se a sequência
é crescente, decrescente ou não monótona. Além disso, precisamos verificar se essa sequência é limitada. Para isso, vamos usar conceitos de progressões e propriedades de limites. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a sequência ser crescente, decrescente ou não monótona:
- Crescente: Cada termo é maior que o anterior.
- Decrescente: Cada termo é menor que o anterior.
- Não monótona: Não segue um padrão consistente de aumento ou diminuição.
Também, uma sequência é limitada se existe um número que ela nunca ultrapassa, seja por cima ou por baixo.
Passo 3
Agora, vamos analisar a sequência
. O que temos aqui?
-
(fatorial de n): Cresce muito rápido conforme n aumenta. -
(2 elevado a n): Também cresce exponencialmente, mas precisamos ver qual cresce mais rápido.
Vamos calcular alguns termos para ter uma ideia:
- Para
: - Para
: - Para
: - Para
: - Para
:
Parece que a sequência está aumentando!
Passo 4
Vamos verificar matematicamente se a sequência é crescente. Para isso, vamos comparar o termo geral com o próximo termo:
Onde
.
Para a sequência ser crescente, precisamos que
:
Isso significa que, para
, cada termo é maior que o anterior. Então a sequência é crescente a partir de
.
Passo 5
Agora, vamos ver se a sequência é limitada. Observando os termos que calculamos e sabendo que
cresce mais rápido que
, podemos dizer que:
Isso indica que a sequência não tem um limite superior; ela cresce sem parar.
Resposta
A sequência
é crescente para
e não é limitada, pois cresce indefinidamente.