Se existir, dê exemplo de uma sequência tal que
(e) é convergente mas não é monótona
Passo 1
O enunciado pede um exemplo de sequência que converge, mas que não seja monótona. O assunto é sequências numéricas: precisamos usar as definições de convergência e de monotonicidade para justificar nosso exemplo.
Passo 2
Lembrando a definição de convergência: uma sequência converge para se, para todo , existe tal que para todo vale .
Passo 3
Como exemplo simples, vamos escolher a sequência .
Passo 4
Mostrando que converge: observe que
e sabemos que 1/n to 0 quando n to infty. Então an to 0.
Passo 5
Agora, para ver que não é monótona, basta checar alguns termos vizinhos. Temos
a1 = -1, a2 = tfrac12, a3 = -tfrac13,
e vemos que a2 > a1 mas a3 < a2. Ou seja, não é nem crescente nem decrescente.
Passo 6
Logo, an = (-1)^nn é um exemplo de sequência convergente (para 0) que não é monótona.