Se existir, dê exemplo de uma sequência an tal que
(e) an é convergente mas não é monótona

Passo 1

O enunciado pede um exemplo de sequência que converge, mas que não seja monótona. O assunto é sequências numéricas: precisamos usar as definições de convergência e de monotonicidade para justificar nosso exemplo.

Passo 2

Lembrando a definição de convergência: uma sequência an converge para L se, para todo varepsilon>0, existe N tal que para todo n>N vale |an - L| < varepsilon.

Passo 3

Como exemplo simples, vamos escolher a sequência an = (-1)^nn.

Passo 4

Mostrando que an converge: observe que
|an - 0| = |(-1)^nn| = 1n,
e sabemos que 1/n to 0 quando n to infty. Então an to 0.

Passo 5

Agora, para ver que não é monótona, basta checar alguns termos vizinhos. Temos
a1 = -1, a2 = tfrac12, a3 = -tfrac13,
e vemos que a2 > a1 mas a3 < a2. Ou seja, não é nem crescente nem decrescente.

Passo 6

Logo, an = (-1)^nn é um exemplo de sequência convergente (para 0) que não é monótona.

Resposta

Um exemplo é
an = (-1)^nn,
que converge para 0 mas não é monótona.

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