Resolva os seguintes exercícios, determinando o quociente Q(x) e o resto R(x) :
Divida P(x)=4 x^5-x^4+2 x^3-6 x^2+x-7 por D(x)=2 x^2-x+1.

Passo 1

Temos o polinômio dividendo P(x)=4x^5 - x^4 + 2x^3 -6x^2 + x -7 e o polinômio divisor D(x)=2x^2 - x +1. O conteúdo é divisão polinomial, que consiste em, a cada passo, dividir o termo de maior grau do resto atual pelo termo de maior grau do divisor, multiplicar o divisor pelo quociente parcial obtido e subtrair para renovar o resto.

Passo 2

Olhar os termos de maior grau: dividimos 4x^5 (de P(x)) por 2x^2 (de D(x)), obtendo 2x^3. Agora multiplicamos e subtraímos:
2x^3cdot(2x^2 - x +1)=4x^5 -2x^4 +2x^3
Subtraindo de P(x) temos resto parcial
(4x^5 - x^4 +2x^3) - (4x^5 -2x^4 +2x^3)=x^4 +0x^3
E trazendo os termos seguintes, o novo polinômio é x^4 -6x^2 + x -7.

Passo 3

Com o polinômio x^4 -6x^2 + x -7, dividimos x^4 por 2x^2, obtendo tfrac12x^2. Multiplicamos e subtraímos:
tfrac12x^2cdot(2x^2 - x +1)=x^4 -tfrac12x^3 +tfrac12x^2
Subtraindo do resto atual, fica
(x^4 +0x^3 -6x^2) - (x^4 -tfrac12x^3 +tfrac12x^2)=tfrac12x^3 -tfrac132x^2
Trazendo o +x -7, obtemos tfrac12x^3 -tfrac132x^2 + x -7.

Passo 4

Agora dividimos tfrac12x^3 por 2x^2, dando tfrac14x. Multiplicamos e subtraímos:
tfrac14xcdot(2x^2 - x +1)=tfrac12x^3 -tfrac14x^2 +tfrac14x
Subtraindo, o resto vira
(tfrac12x^3 -tfrac132x^2 + x) - (tfrac12x^3 -tfrac14x^2 +tfrac14x)= -tfrac254x^2 + tfrac34x
E trazendo o -7, ficou -tfrac254x^2 + tfrac34x -7.

Passo 5

Finalmente dividimos -tfrac254x^2 por 2x^2, resultando em -tfrac258). Multiplicamos e subtraímos pela última vez:
-tfrac258,(2x^2 - x +1)= -tfrac254x^2 + tfrac258x - tfrac258
Subtraindo de -tfrac254x^2 + tfrac34x -7), obtemos o resto
(-tfrac254x^2 + tfrac34x -7) - (-tfrac254x^2 + tfrac258x - tfrac258))= -tfrac198x - tfrac318
Como o grau desse resto (1) é menor que o grau de D(x) (2), a divisão termina aqui.

Resposta

Q(x)=2x^3 + tfrac12x^2 + tfrac14x - tfrac258, R(x)=-tfrac198x - tfrac318

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