Determine se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente.
sumn=1^infty(-1)^n+1 32^n

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
sumn=1^infty(-1)^n+132^n
é convergente ou divergente. O conteúdo envolve análise de convergência de séries: podemos usar o teste da série geométrica, o teste de Leibniz para séries alternantes e o conceito de convergência absoluta.

Passo 2

Escrevemos o termo geral como
an=(-1)^n+132^n=3l(-1r)^n+1l(tfrac12r)^n
Isso mostra que é uma série geométrica com razão r=-tfrac12, pois
an=3,(r)^ncom r=-tfrac12,
logo se aplica o critério da série geométrica.

Passo 3

Para uma série geométrica sum r^n sabemos que converge se, e somente se, lvert rrvert<1. Aqui lvert rrvert=tfrac12<1, logo
sumn=1^infty3l(-tfrac12r)^n
é convergente.

Passo 4

Em particular, como sumn=1^inftyllvert anrrvert=sumn=1^infty3l(tfrac12r)^n também é uma série geométrica com razão tfrac12, ela converge, o que implica convergência absoluta da série original.

Resposta

A série é convergente (na verdade, converge absolutamente).

Exercícios relacionados