Estude a convergência de cada uma das séries abaixo.
sumn=1^infty(-1)^n+1 14 n^2+1

Passo 1

O enunciado nos dá a série alternante
sumn=1^infty(-1)^n+114n^2+1
O conteúdo envolvido é teste de convergência de séries alternantes (critérios de Leibniz) e convergência absoluta (comparação com série p-série).

Passo 2

Aplicando o critério de Leibniz, definimos
an = 14n^2+1
Verificamos:
  1. an>0 para todo n.
  2. an é decrescente, pois para n>=1
4n^2+1 < 4(n+1)^2+1 Longrightarrow an = 14n^2+1 > 14(n+1)^2+1 = an+1
  1. limntoinftyan = 0.
    Logo, pela regra de Leibniz, a série original converge.

Passo 3

Para a convergência absoluta, analisamos
sumn=1^inftyl|(-1)^n+1tfrac14n^2+1r| = sumn=1^infty14n^2+1
Como
14n^2+1 < 14n^2 = 14,1n^2
e sum 1/n^2 converge ( p=2>1), a comparação garante que sum1/(4n^2+1) converge. Portanto a série converge absolutamente.

Resposta

A série converge absolutamente (e, consequentemente, converge).

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