Determine, para cada uma das séries a seguir, a convergência ou divergência.
Passo 1
Nesse exercício a gente quer analisar a série
. O conteúdo principal aqui é o teste de séries alternantes (Leibniz) e também checar se a série converge absolutamente.
Passo 2
Vamos aplicar o teste de Leibniz, definindo
. O primeiro requisito é vemos se
. De fato,
o que satisfaz a condição de anular no infinito.
Passo 3
Agora precisamos verificar se
é monótona decrescente para
grande. Considere a função
$$f(x)=\frac{x}{x^2+1},\quad f’(x)=\frac{(x2+1)-2x2}{(x2+1)2}=\frac{1-x2}{(x2+1)^2}.
$$
Passo 4
Como
para todo
, temos que
é decrescente para
. Logo, por Leibniz a série alternante converge.
Passo 5
Para ver se é absolutamente convergente, analisamos
. Para
grande,
e sabemos que
diverge. Por comparação,
também diverge.
Passo 6
Concluímos que a série converge pelo teste de Leibniz, mas não converge absolutamente. Portanto ela é condicionalmente convergente.
Resposta
A série converge condicionalmente (converge pelo teste alternante, mas não converge absolutamente).