Determine, para cada uma das séries a seguir, a convergência ou divergência.
sumn=1^infty(-1)^n-1 nn^2+1

Passo 1

Nesse exercício a gente quer analisar a série sumn=1^infty(-1)^n-1nn^2+1. O conteúdo principal aqui é o teste de séries alternantes (Leibniz) e também checar se a série converge absolutamente.

Passo 2

Vamos aplicar o teste de Leibniz, definindo an=nn^2+1. O primeiro requisito é vemos se limntoinftyan=0. De fato,
limntoinftynn^2+1=limntoinfty1n+1/n=0,
o que satisfaz a condição de anular no infinito.

Passo 3

Agora precisamos verificar se an é monótona decrescente para n grande. Considere a função
$$f(x)=\frac{x}{x^2+1},\quad f’(x)=\frac{(x2+1)-2x2}{(x2+1)2}=\frac{1-x2}{(x2+1)^2}.
$$

Passo 4

Como f'(x)<0 para todo x>1, temos que an=f(n) é decrescente para n>=2. Logo, por Leibniz a série alternante converge.

Passo 5

Para ver se é absolutamente convergente, analisamos sumn=1^infty an=sumn=1^inftynn^2+1. Para n grande, nn^2+1sim1n e sabemos que sum1/n diverge. Por comparação, sum an também diverge.

Passo 6

Concluímos que a série converge pelo teste de Leibniz, mas não converge absolutamente. Portanto ela é condicionalmente convergente.

Resposta

A série converge condicionalmente (converge pelo teste alternante, mas não converge absolutamente).

Exercícios relacionados