Determine, para cada uma das séries a seguir, a convergência ou divergência.
sumn=1^infty(-1)^n (1.1)^nn^4

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série alternante sumn=1^infty(-1)^n(1.1)^nn^4 converge ou diverge. Vamos usar o teste do termo geral (ou teste da divergência) e também comentar o teste da razão.

Passo 2

O teste do termo geral diz que, se an é o enésimo termo da série e limntoinftyanneq 0, então a série diverge. Aqui tomamos o valor absoluto do termo geral:
|an|=(1.1)^nn^4
Como a parte exponencial (1.1)^n cresce muito mais rápido que o polinômio n^4, temos
limntoinfty|an|=limntoinfty(1.1)^nn^4=inftyneq 0
Logo, an não tende a zero, e a série diverge imediatamente pelo teste do termo geral.

Passo 3

Para reforçar, podemos aplicar o teste da razão: calculemos
L=limntoinfty|an+1an|=limntoinfty(1.1)^n+1/(n+1)^4(1.1)^n/n^4 =1.1limntoinftyn^4(n+1)^4=1.1>1
Como L>1, a série também diverge pelo teste da razão.

Resposta

A série diverge.

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