Calcule os seguintes limites:
lim x 1 (x-1)^5x^5-1

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite limxto1(x-1)^5x^5-1. O conteúdo envolve limites de indeterminação 0/0 e fatoração de polinômios para simplificar a expressão.

Passo 2

Se substituirmos diretamente x=1 no numerador e no denominador, obtemos (1-1)^5=0 e 1^5-1=0, isto é uma indeterminação do tipo 0/0. Nesse caso, precisamos manipular a expressão antes de avaliar o limite.

Passo 3

Vamos usar a fatoração da diferença de quinta potência. Sabemos que
x^5-1 = (x-1)(x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)

Passo 4

Substituindo essa fatoração na expressão original, temos
(x-1)^5x^5-1 = (x-1)^5(x-1)(x^4 + x^3 + x^2 + x + 1) = (x-1)^4x^4 + x^3 + x^2 + x + 1

Passo 5

Agora podemos avaliar o limite de forma direta, pois não há mais indeterminação. Substituindo x=1: o numerador fica (1-1)^4=0 e o denominador 1^4+1^3+1^2+1+1=5.

Resposta

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