Em cada caso, determine se a série converge ou diverge.
sumn=1^infty 1n^2+2+1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente descobrir se a série sumn=1^infty 1n^2+2+1 converge ou diverge. Isso está dentro da matéria de Séries Numéricas, mais especificamente analisando a convergência de séries infinitas. Para resolver isso, vamos precisar usar o Teste da Comparação, que ajuda a comparar nossa série com outra série que já sabemos se converge ou diverge.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da nossa série. O denominador n^2+2+1 pode ser simplificado para n^2+3. Então, a série fica:
sumn=1^infty 1n^2+3

Passo 3

Agora, para aplicar o Teste da Comparação, precisamos comparar essa série com uma série que conhecemos a convergência. Sabemos que a série p, que é da forma sumn=1^infty 1n^p, converge se p > 1. No nosso caso, se considerarmos p = 2, temos a série:
sumn=1^infty 1n^2
Essa série é conhecida por convergir, pois 2 > 1.

Passo 4

Agora, vamos comparar os termos das duas séries:
1n^2+3 <= 1n^2
Isso acontece porque, para todo n >= 1, n^2 + 3 é maior que n^2, então o denominador maior resulta em um termo menor.

Passo 5

Já que cada termo da nossa série original é menor ou igual ao termo correspondente da série p que sabemos que converge, podemos concluir, pelo Teste da Comparação, que a série sumn=1^infty 1n^2+3 também converge.

Resposta

A série sumn=1^infty 1n^2+3 converge.

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