Em cada caso, determine se a série converge ou diverge.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente descobrir se a série
converge ou diverge. Isso está dentro da matéria de Séries Numéricas, mais especificamente analisando a convergência de séries infinitas. Para resolver isso, vamos precisar usar o Teste da Comparação, que ajuda a comparar nossa série com outra série que já sabemos se converge ou diverge.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da nossa série. O denominador
pode ser simplificado para
. Então, a série fica:
Passo 3
Agora, para aplicar o Teste da Comparação, precisamos comparar essa série com uma série que conhecemos a convergência. Sabemos que a série p, que é da forma
, converge se
. No nosso caso, se considerarmos
, temos a série:
Essa série é conhecida por convergir, pois
.
Passo 4
Agora, vamos comparar os termos das duas séries:
Isso acontece porque, para todo
,
é maior que
, então o denominador maior resulta em um termo menor.
Passo 5
Já que cada termo da nossa série original é menor ou igual ao termo correspondente da série p que sabemos que converge, podemos concluir, pelo Teste da Comparação, que a série
também converge.
Resposta
A série
converge.