Um trenó é empurrado em uma superfície sem atrito. Trataremos a força
que empurra o trenó como sendo a entrada de um sistema, e a velocidade
do trenó como sendo a saída do sistema. O sistema é linear e a relação entre entrada e saída pode ser descrita pela seguinte equação:
A massa m do trenó é de 100 kg . Encontre expressões para:
c) a resposta total, considerando a mesma velocidade inicial e a mesma força aplicada.
c) a resposta total, considerando a mesma velocidade inicial e a mesma força aplicada.
Passo 1
Beleza, vamos recapitular o que a questão pede e quais são os conteúdos envolvidos.
Enunciado resumido: num trenó de massa sem atrito, a entrada é a força
e a saída é a velocidade
. A relação dada é
Enunciado resumido: num trenó de massa
Conteúdo: sistemas lineares, resposta total (ou completa) de um sistema LTI, que é a soma da resposta ao estado inicial (chamada natural ou homógenea) mais a resposta ao sinal de entrada (particular ou de estado zero).
O que precisamos:
– Entender o conceito de resposta natural (zero‐input) e resposta forçada (zero‐state).
– Calcular cada uma e somar para ter a resposta total.
O que precisamos:
– Entender o conceito de resposta natural (zero‐input) e resposta forçada (zero‐state).
– Calcular cada uma e somar para ter a resposta total.
Passo 2
Resposta natural (zero‐input)
- Teoria rápida: a resposta natural é o comportamento do sistema quando a entrada é zero, mas mantemos a condição inicial.
- No nosso caso, se
, a integral some e fica
Ou seja, sem força aplicada, o trenó continua com a velocidade inicial constante.
Passo 3
Resposta forçada (zero‐state)
- Teoria rápida: a resposta forçada (ou de zero‐estado) é a resposta do sistema considerando a entrada
e assumindo que a condição inicial é zero ( ). - Pela fórmula dada, com
, temos
Passo 4
Resposta total (soma das duas)
A teoria de sistemas lineares diz que a resposta total é
A teoria de sistemas lineares diz que a resposta total é
Substituindo o que achamos: