Um trenó é empurrado em uma superfície sem atrito. Trataremos a força f(t) que empurra o trenó como sendo a entrada de um sistema, e a velocidade v(t) do trenó como sendo a saída do sistema. O sistema é linear e a relação entre entrada e saída pode ser descrita pela seguinte equação:
v(t)=1m integral-infty^t f(tau) d tau=v(0)+1m integral0^t f(tau) d tau
A massa m do trenó é de 100 kg . Encontre expressões para:
c) a resposta total, considerando a mesma velocidade inicial e a mesma força aplicada.

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que a questão pede e quais são os conteúdos envolvidos.
Enunciado resumido: num trenó de massa v(t)=v(0)+1mintegral0^tf(tau),dtau sem atrito, a entrada é a força e a saída é a velocidade . A relação dada é
Conteúdo: sistemas lineares, resposta total (ou completa) de um sistema LTI, que é a soma da resposta ao estado inicial (chamada natural ou homógenea) mais a resposta ao sinal de entrada (particular ou de estado zero).
O que precisamos:
– Entender o conceito de resposta natural (zero‐input) e resposta forçada (zero‐state).
– Calcular cada uma e somar para ter a resposta total.

Passo 2

Resposta natural (zero‐input)
  1. Teoria rápida: a resposta natural é o comportamento do sistema quando a entrada é zero, mas mantemos a condição inicial.
  2. No nosso caso, se vnat(t)=v(0), , a integral some e fica
Ou seja, sem força aplicada, o trenó continua com a velocidade inicial constante.

Passo 3

Resposta forçada (zero‐state)
  1. Teoria rápida: a resposta forçada (ou de zero‐estado) é a resposta do sistema considerando a entrada vfor(t) =1mintegral0^tf(tau),dtau =1100integral0^tf(tau),dtau e assumindo que a condição inicial é zero ( ).
  2. Pela fórmula dada, com , temos

Passo 4

Resposta total (soma das duas)
A teoria de sistemas lineares diz que a resposta total é
v(t)=vnat(t)+vfor(t)
Substituindo o que achamos:
v(t)=v(0)+1100integral0^tf(tau),dtau

Resposta

boxedv(t)=v(0)+1100integral0^tf(tau),dtau

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