Determine se cada transformação linear é ou não injetora. Se não for, ache um vetor não nulo cuja imagem é
\mathrm{F}: \mathrm{M}_{2 \times 2}(\mathbb{R}) \rightarrow \mathrm{M}_{2 \times 2}(\mathbb{R}), dada por \mathrm{F}(\mathrm{A})=\mathrm{AM}-\mathrm{MA}, onde \mathrm{M}=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\\\ 0 & 3\end{array}\right).

Passo 1

No enunciado temos a transformação linear \displaystyle F\colon \mathrm{M}_{2 \times 2}(\mathbb{R}) \to \mathrm{M}_{2 \times 2}(\mathbb{R})
dada por
F(A)=AM - MA,
com
M=\begin{pmatrix}1 & 2 \\\\ 0 & 3\end{pmatrix}.
Para que F seja injetora, seu núcleo deve ser trivial, ou seja, F(A)=0 deve implicar A=0.

Passo 2

Seja
A=\begin{pmatrix}a & b \\\ c & d\end{pmatrix}.
Calculamos
AM=\begin{pmatrix}a & b \\\ c & d\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 2 \\\\ 0 & 3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}a & 2a+3b \\\ c & 2c+3d\end{pmatrix},
MA=\begin{pmatrix}1 & 2 \\\\ 0 & 3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}a & b \\\ c & d\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}a+2c & b+2d \\\\ 3c & 3d\end{pmatrix}.
Logo
F(A)=AM - MA =\begin{pmatrix}-2c & 2(a+b-d) \\\\ -2c & 2c\end{pmatrix}.

Passo 3

Impondo F(A)=0, igualamos as entradas a zero:
-2c=0, \quad 2(a+b-d)=0.
Da primeira equação vem c=0. Da segunda obtemos d=a+b. Portanto
\ker(F) =\Bigl\{\begin{pmatrix}a & b \\\\ 0 & a+b\end{pmatrix}:a,b\in\mathbb{R}\Bigr\},
que é maior que \{0\}.

Passo 4

Como \ker(F) contém matrizes não nulas, F não é injetora. Por exemplo,
I_2=\begin{pmatrix}1 & 0 \\\\ 0 & 1\end{pmatrix}
é não-nula e
F(I_2)=I_2\,M - M\,I_2 = M - M = 0.

Resposta

F não é injetora. Um vetor não nulo em (\ker(F)$ é
\begin{pmatrix}1 & 0 \\\\ 0 & 1\end{pmatrix}.)

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