Determine se cada transformação linear é ou não injetora. Se não for, ache um vetor não nulo cuja imagem é \mathrm{F}: \mathrm{M}_{2 \times 2}(\mathbb{R}) \rightarrow \mathrm{M}_{2 \times 2}(\mathbb{R}), dada por \mathrm{F}(\mathrm{A})=\mathrm{AM}-\mathrm{MA}, onde \mathrm{M}=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\\\ 0 & 3\end{array}\right).
Passo 1
No enunciado temos a transformação linear \displaystyle F\colon \mathrm{M}_{2 \times 2}(\mathbb{R}) \to \mathrm{M}_{2 \times 2}(\mathbb{R})
dada por
F(A)=AM - MA,
com
M=\begin{pmatrix}1 & 2 \\\\ 0 & 3\end{pmatrix}.
Para que F seja injetora, seu núcleo deve ser trivial, ou seja, F(A)=0 deve implicar A=0.
Passo 2
Seja
A=\begin{pmatrix}a & b \\\ c & d\end{pmatrix}.
Calculamos
AM=\begin{pmatrix}a & b \\\ c & d\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 2 \\\\ 0 & 3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}a & 2a+3b \\\ c & 2c+3d\end{pmatrix},