\operatorname{Se}[R]=\left[\begin{array}{cc}1 & 2 \\\\ -1 & 3\end{array}\right] e [S]=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & -1 \\\\ 2 & 1 & 1\end{array}\right], encontre R \circ S.

Passo 1

O enunciado dá duas transformações lineares S\colon \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2 e R\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 com representações matriciais
[R]=\begin{pmatrix}1 & 2\\\ -1 & 3\end{pmatrix},
[S]=\begin{pmatrix}1 & 0 & -1\\\ 2 & 1 & 1\end{pmatrix}.
Pede-se a composição R\circ S, ou seja, primeiro aplica-se S e depois R. Para obter a matriz de R\circ S usamos multiplicação de matrizes.

Passo 2

Verificamos as dimensões:
[R]\text{ é }2\times2,\quad [S]\text{ é }2\times3.éé
Como S leva vetores de \mathbb{R}^3 em \mathbb{R}^2 e R leva vetores de \mathbb{R}^2 em \mathbb{R}^2, a matriz de R\circ S é
[R\circ S]=[R]\,[S],
que tem dimensão 2\times3.

Passo 3

Vamos calcular o produto linha-por-coluna. Seja
[R]=\begin{pmatrix}r_{11}&r_{12}\r_{21}&r_{22}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1&2\\\ -1&3\end{pmatrix}, \quad [S]=\begin{pmatrix}s_{11}&s_{12}&s_{13}\s_{21}&s_{22}&s_{23}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1&0&-1\\\ 2&1&1\end{pmatrix}.
O elemento (i,j) de [R\circ S] é
(R\circ S)_{ij} =r_{i1}s_{1j}+r_{i2}s_{2j}.
Para a primeira linha de [R\circ S]:
(R\circ S)_{11}=1\cdot1+2\cdot2=5,\quad (R\circ S)_{12}=1\cdot0+2\cdot1=2,\quad (R\circ S)_{13}=1\cdot(-1)+2\cdot1=1.
Para a segunda linha de [R\circ S]:
(R\circ S)_{21}=-1\cdot1+3\cdot2=5,\quad (R\circ S)_{22}=-1\cdot0+3\cdot1=3,\quad (R\circ S)_{23}=-1\cdot(-1)+3\cdot1=4.

Resposta

R\circ S = \begin{pmatrix}5 & 2 & 1\\\ 5 & 3 & 4\end{pmatrix}.

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