Sejam V=M_{2 \times 2}(\mathbb{R}) e B a base canônica de V.
Se \mathrm{T}: \mathrm{V} \rightarrow \mathbb{R}^{2} é dada por \mathrm{T}\left(\left[\begin{array}{ll}\mathrm{a} & \mathrm{b} \\\ \mathrm{c} & \mathrm{d}\end{array}\right]\right)=(\mathrm{a}+\mathrm{d}, \mathrm{b}+\mathrm{c}), ache [\mathrm{T}]_{\mathrm{A}}^{\mathrm{B}}\, onde A é a base canônica do \(\mathbb{R}^{2}.)

Passo 1

O enunciado pede a matriz de \mathrm{T}:M_{2\times2}(\mathbb{R})\to\mathbb{R}^2 dada por
\mathrm{T}\bigl(\begin{bmatrix}a & b\\\ c & d\end{bmatrix}\bigr)=(a+d,\;b+c)
onde usamos como base de M_{2\times2}(\mathbb{R}) a base canônica \mathcal{B}=(E_{11},E_{12},E_{21},E_{22})
e como base de \mathbb{R}^2 a canônica \mathcal{A}=(e_1,e_2). Vamos calcular as imagens dos vetores de \mathcal{B} e montar a matriz [T]_{\mathcal{A}}^{\mathcal{B}}.

Passo 2

Listamos os quatro vetores da base \mathcal{B}:
E_{11} = \begin{bmatrix}1 & 0\\[6pt]0 & 0\end{bmatrix},\quad E_{12} = \begin{bmatrix}0 & 1\\[6pt]0 & 0\end{bmatrix},\quad E_{21} = \begin{bmatrix}0 & 0\\[6pt]1 & 0\end{bmatrix},\quad E_{22} = \begin{bmatrix}0 & 0\\[6pt]0 & 1\end{bmatrix}.]

Passo 3

Aplicamos \mathrm{T} a cada um: \mathrm{T}(E_{11})=(1+0,\;0+0)=(1,0), \mathrm{T}(E_{12})=(0+0,\;1+0)=(0,1), \mathrm{T}(E_{21})=(0+0,\;0+1)=(0,1), \mathrm{T}(E_{22})=(0+1,\;0+0)=(1,0).

Passo 4

Como a base de chegada \mathcal{A} é (e_1,e_2), as coordenadas de \mathrm{T}(E_{ij}) são exatamente os pares obtidos.

Passo 5

A matriz de \mathrm{T} em relação a \mathcal{B}\to\mathcal{A} tem colunas dadas pelas coordenadas de \mathrm{T}(E_{11}),\dots,\mathrm{T}(E_{22}). Logo,
[T]_{\mathcal{A}}^{\mathcal{B}} =\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1\\\\ 0 & 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}.

Resposta

[T]_{\mathcal{A}}^{\mathcal{B}} =\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1\\\\ 0 & 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}.

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