Verificar se T é inversível; em caso afirmativo, encontrar \mathrm{T}^{-1}.
\mathrm{T}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}
\mathrm{T}(\mathrm{x}, \mathrm{y})=(5 \mathrm{x}+2 \mathrm{y},-4 \mathrm{x}+2 \mathrm{y})

Passo 1

O enunciado define a transformação linear \mathrm{T}:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 por
\mathrm{T}(x,y) = (5x + 2y,\,-4x + 2y).
O conteúdo é verificar se \mathrm{T} é invertível e, em caso positivo, encontrar \mathrm{T}^{-1}. Para isso precisamos representar \mathrm{T} por sua matriz, calcular o determinante e, se for não nulo, usar a fórmula da matriz inversa.

Passo 2

Vamos escrever \mathrm{T} na forma matricial. Se \mathbf{v}=(x,y) e \mathrm{T}(\mathbf{v})=(u,v), então
\begin{pmatrix}u\v\end{pmatrix} = \underbrace{\begin{pmatrix}5 & 2\\\ -4 & 2\end{pmatrix}}_{A} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}.
Ou seja, A é a matriz que representa \mathrm{T} no padrão canônico.

Passo 3

Calculamos o determinante de A:
\det(A) = 5\cdot2 - (-4)\cdot2 = 10 - (-8) = 18.

Passo 4

Como \det(A)=18\neq0, a matriz A é invertível e, portanto, \mathrm{T} também é inversível.

Passo 5

A fórmula da inversa de A em \mathbb{R}^{2\times2} é
A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix} d & -b\\[6pt] -c & a \end{pmatrix},
onde A=\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix}. Aqui a=5, b=2, c=-4, d=2, logo
A^{-1} = \frac{1}{18} \begin{pmatrix} 2 & -2\\[4pt] 4 & 5 \end{pmatrix}.
Isso significa que, se \mathrm{T}(x,y)=(u,v), então
\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = A^{-1} \begin{pmatrix}u\v\end{pmatrix} = \frac{1}{18} \begin{pmatrix} 2u - 2v\\[4pt] 4u + 5v \end{pmatrix}.]

Resposta

\mathrm{T} é inversível e sua inversa é
\mathrm{T}^{-1}(u,v) = \Bigl(\tfrac{2u - 2v}{18},\,\tfrac{4u + 5v}{18}\Bigr).

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