Um feixe de elétrons com uma energia cinética de 350 eV incide normalmente à superfície de um cristal de KCl que foi cortado de tal forma que o espaçamento D entre átomos adjacentes nos planos paralelos à superfície é 0,315 nm. Calcule o ângulo phi para o qual são observados picos de difração para todas as ordens possíveis.

Passo 1

Beleza, vamos ao enunciado: um feixe de elétrons com energia cinética de 350 eV incide perpendicularmente num cristal de KCl, cujo espaçamento entre planos é
D = 0,315 nm,
O objetivo é achar todos os ângulos phi para os quais a difração (picos de Bragg) ocorre.
Matéria envolvida: difração de elétrons (dualidade onda-partícula) e Lei de Bragg.
O que vamos precisar:
- Converter a energia de eV para joule;
- Calcular a onda de Broglie lambda do elétron;
- Usar a lei de Bragg 2Dsinphi = nlambda;
- Determinar as ordens n possíveis (com sinphi<=1).

Passo 2

Primeiro, a onda de Broglie do elétron é
lambda = hp = hraiz2mE,
– Constantes:
\quad h = 6,626times10^-34,Jcdot s,
\quad m = 9,11times10^-31,kg,
\quad E = 350,eV = 350times1,602times10^-19,J.
Logo,
E = 5,607times10^-17,J,
$$\lambda = \frac{6{,}626\times10{-34}}{\sqrt{2\cdot9{,}11\times10{-31}\cdot5{,}607\times10^{-17}}}
\approx 6,56\times10^{-11},\mathrm{m} = 0,0656,\mathrm{nm},. $$

Passo 3

Agora usamos a Lei de Bragg na forma
2Dsinphi = nlambda,, n=1,2,3,dots
Isolando phi:
sinphi = nlambda2D,

Passo 4

Para existir difração, tem de valer sinphi<=1, ou seja
nlambda2D<=1 Longrightarrow n<= 2Dlambda = 2cdot0,3150,0656approx9,6,
Como n é inteiro, as ordens válidas vão de n=1 até n=9.

Passo 5

Calculemos phin para cada ordem:
Definindo k=lambda/(2D)=0,0656/(2cdot0,315)=0,1041, temos
phin = arcsinl(n,kr),
Fazendo as contas:
n=1: phi1=arcsin(0,1041)approx5,97^circ
n=2: phi2=arcsin(0,2082)approx12,0^circ
n=3: phi3=arcsin(0,3123)approx18,2^circ
n=4: phi4=arcsin(0,4164)approx24,6^circ
n=5: phi5=arcsin(0,5205)approx31,3^circ
n=6: phi6=arcsin(0,6246)approx38,6^circ
n=7: phi7=arcsin(0,7287)approx47,0^circ
n=8: phi8=arcsin(0,8328)approx56,7^circ
n=9: phi9=arcsin(0,9369)approx69,7^circ

Resposta

Os ângulos de difração phi para as ordens n=1 a 9 são:
5,97°; 12,0°; 18,2°; 24,6°; 31,3°; 38,6°; 47,0°; 56,7°; 69,7°.

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