Determine o campo elétrico dentro de um cilindro maciço uniformemente carregado usando a Lei de Gauss.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar o campo elétrico dentro de um cilindro maciço uniformemente carregado usando a Lei de Gauss. Aqui, vamos trabalhar com conceitos de Eletrostática, especificamente utilizando a Lei de Gauss para campos elétricos. Para resolver isso, vamos precisar entender a distribuição de carga no cilindro e aplicar a simetria do problema para simplificar os cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar um cilindro maciço com raio total $ R $ e comprimento $ L $, carregado uniformemente com uma densidade de carga volumétrica $ \rho $. Nosso objetivo é encontrar o campo elétrico $ \vec{E} $ em um ponto que está a uma distância $ r $ do eixo do cilindro, onde $ r < R $ (ou seja, dentro do cilindro).

Passo 3

Para aplicar a Lei de Gauss, precisamos escolher uma superfície gaussiana apropriada. Devido à simetria do problema, vamos escolher uma superfície cilíndrica concêntrica com o cilindro carregado, com raio $ r $ e comprimento $ L $. Essa escolha facilita os cálculos porque o campo elétrico terá a mesma magnitude em todos os pontos da superfície gaussiana e será perpendicular a ela.

Passo 4

A Lei de Gauss é dada por:
oint E cdot dA = Qinternovarepsilon0
Aqui, $ \oint \vec{E} \cdot d\vec{A} $ representa o fluxo elétrico através da superfície gaussiana, $ Q_{interno} $ é a carga total dentro da superfície gaussiana, e $ \varepsilon_0 $ é a constante de permissividade do vácuo.

Passo 5

Vamos calcular o fluxo elétrico. Como o campo elétrico $ \vec{E} $ é constante em magnitude e perpendicular à superfície cilíndrica, o fluxo elétrico é:
E
Aqui, $ 2\pi r L $ é a área lateral do cilindro gaussiano.

Passo 6

Agora, precisamos encontrar a carga interna $ Q_{interno} $. Como a densidade de carga é uniforme, a carga total do cilindro é $ Q = \rho \cdot \pi R^2 L $. Portanto, a carga dentro da superfície gaussiana (raio $ r $) é:
Qinterno

Passo 7

Substituindo na Lei de Gauss:
E cdot 2pi r L = rho cdot pi r^2 Lvarepsilon0
Podemos simplificar cancelando $ \pi L $ dos dois lados:
pi L

Passo 8

Resolvendo para $ E $:
E

Resposta

O campo elétrico dentro do cilindro maciço uniformemente carregado, a uma distância $ r $ do eixo, é dado por:
r
Onde $ \hat{r} $ é o vetor unitário na direção radial.

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