Duas partículas de massas m1 e m2 estão conectadas por uma haste rígida e sem massa de comprimento r, formando um haltere que pode se mover livremente em um plano. Mostre que o momento de inércia do haltere em relação a um eixo perpendicular ao plano e passando pelo centro de massa é dado por mu r^2, onde mu é a massa reduzida.
Massa reduzida: mu=m1 m2m1+m2

Passo 1

Então, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos duas partículas com massas $ m_{1} $ e $ m_{2} $ conectadas por uma haste rígida e sem massa, com comprimento total $ r $. Esse sistema forma um haltere que pode se mover livremente em um plano. A tarefa é mostrar que o momento de inércia desse haltere em relação a um eixo perpendicular ao plano e que passa pelo centro de massa é igual a $ \mu r^{2} $, onde $ \mu $ é a massa reduzida, dada por:
m1
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é momento de inércia, como encontrar o centro de massa de um sistema de partículas e como aplicar a fórmula da massa reduzida.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar onde está o centro de massa do sistema. O centro de massa é o ponto onde podemos considerar que toda a massa do sistema está concentrada para o cálculo do momento de inércia. Para duas partículas, a posição do centro de massa $ x_{cm} $ em relação a $ m_{1} $ é dada por:
xcm
Isso nos diz a distância do centro de massa até a massa $ m_{1} $. Similarmente, a distância do centro de massa até $ m_{2} $ será:
m1

Passo 3

Agora, vamos lembrar que o momento de inércia $ I $ de um sistema de partículas em relação a um eixo é dado pela soma dos momentos de inércia de cada partícula em relação a esse eixo. Para cada massa, o momento de inércia é:
I
onde $ m $ é a massa da partícula e $ d $ é a distância da partícula ao eixo de rotação.

Passo 4

Aplicando isso ao nosso sistema, temos:
I = m1 cdot ( m2 rm1 + m2 )^2 + m2 cdot ( m1 rm1 + m2 )^2
Vamos simplificar essa expressão. Primeiro, fatoramos $ r^{2} $ e $ \frac{1}{(m_{1} + m_{2})^{2}} $:
r^2

Passo 5

Agora, simplificamos a expressão dentro dos parênteses:
m1 m2^2 + m2 m1^2 = m1 m2 (m2 + m1) )
Substituindo de volta, temos:
I = r^2(m1 + m2)^2 cdot m1 m2 (m1 + m2) ) = m1 m2m1 + m2 cdot r^2

Resposta

Portanto, o momento de inércia do haltere em relação ao eixo perpendicular ao plano que passa pelo centro de massa é dado por:
I = mu r^2
onde $ \mu = \frac{m_{1} m_{2}}{m_{1} + m_{2}} $ é a massa reduzida.

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