Duas partículas de massas
e
estão conectadas por uma haste rígida e sem massa de comprimento
, formando um haltere que pode se mover livremente em um plano. Mostre que o momento de inércia do haltere em relação a um eixo perpendicular ao plano e passando pelo centro de massa é dado por
, onde
é a massa reduzida.
Massa reduzida:
Massa reduzida:
Passo 1
Então, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos duas partículas com massas $ m_{1} $ e $ m_{2} $ conectadas por uma haste rígida e sem massa, com comprimento total $ r $. Esse sistema forma um haltere que pode se mover livremente em um plano. A tarefa é mostrar que o momento de inércia desse haltere em relação a um eixo perpendicular ao plano e que passa pelo centro de massa é igual a $ \mu r^{2} $, onde $ \mu $ é a massa reduzida, dada por:
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é momento de inércia, como encontrar o centro de massa de um sistema de partículas e como aplicar a fórmula da massa reduzida.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar onde está o centro de massa do sistema. O centro de massa é o ponto onde podemos considerar que toda a massa do sistema está concentrada para o cálculo do momento de inércia. Para duas partículas, a posição do centro de massa $ x_{cm} $ em relação a $ m_{1} $ é dada por:
Isso nos diz a distância do centro de massa até a massa $ m_{1} $. Similarmente, a distância do centro de massa até $ m_{2} $ será:
Passo 3
Agora, vamos lembrar que o momento de inércia $ I $ de um sistema de partículas em relação a um eixo é dado pela soma dos momentos de inércia de cada partícula em relação a esse eixo. Para cada massa, o momento de inércia é:
onde $ m $ é a massa da partícula e $ d $ é a distância da partícula ao eixo de rotação.
Passo 4
Aplicando isso ao nosso sistema, temos:
Vamos simplificar essa expressão. Primeiro, fatoramos $ r^{2} $ e $ \frac{1}{(m_{1} + m_{2})^{2}} $:
Passo 5
Agora, simplificamos a expressão dentro dos parênteses:
Substituindo de volta, temos:
Resposta
Portanto, o momento de inércia do haltere em relação ao eixo perpendicular ao plano que passa pelo centro de massa é dado por:
onde $ \mu = \frac{m_{1} m_{2}}{m_{1} + m_{2}} $ é a massa reduzida.