3.2.5 Determine o campo elétrico de um disco de cargas de raio a tendo uma distribuição de cargas uniforme de rhos C / m^2 sobre a sua superfície a uma distância d do seu centro e sobre uma linha através de seu eixo. Você precisará da integral integral r /(d^2+r^2)^3 / 2 d r=-1 / raizd^2+r^2. Calcule essa expressão para uma distância muito maior que o raio do disco. Esse resultado para pontos distantes deve se reduzir àquele para uma carga pontual. Por quê? [E=rhos / 2 varepsilono[1-d / raizd^2+a^2] az, E=pi a^2 rhos / 4 pi varepsilono d^2 az, d gg a. Para pontos distantes, o disco de cargas pode ser visto como uma carga pontual de carga igual à carga total contida no disco: Q=pi a^2 rhos.]

Passo 1

O enunciado pede o campo elétrico gerado por um disco de raio a com densidade superficial de carga uniforme rhos medido ao longo do eixo que atravessa o centro do disco, a uma distância d desse centro. Vamos usar o princípio da superposição, decompondo o disco em anéis concêntricos e integrando a contribuição de cada anel. Também vamos precisar da integral fornecida
integral rl(d^2+r^2r)^3/2,dr = -1raizd^2+r^2

Passo 2

Considere um anel de raio r e espessura dr. A carga desse anel é
dq = rhos,(área do anel) = rhos,(2pi r,dr) á
O campo gerado por esse anel ao longo do eixo, no ponto a distância d, tem apenas componente z. Usando o resultado para um anel carregado,
dEz = 14pivarepsilon0;dq;dl(d^2+r^2r)^3/2 = 14pivarepsilon0;rhos,2pi r,dr;dl(d^2+r^2r)^3/2

Passo 3

Agora integramos r de 0 até a:
Ez = integral0^a dEz = rhos,d2varepsilon0 integral0^a rl(d^2+r^2r)^3/2,dr
Usando a integral dada, obtemos
integral0^ar(d^2+r^2)^3/2,dr = [-1raizd^2+r^2]0^a = 1d - 1raizd^2+a^2
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Ez = rhos,d2varepsilon0l(1d - 1raizd^2+a^2r) = rhos2varepsilon0l(1 - draizd^2+a^2r)

Passo 4

Portanto, o campo no eixo do disco, apontando no sentido +az, é
E = rhos2varepsilon0l[1 - draizd^2+a^2r]az

Passo 5

Para distâncias muito maiores que o raio ( d gg a), podemos aproximar
raizd^2+a^2 = draiz1+(a/d)^2 approx dl(1 + tfrac12(a/d)^2r),
então
1 - draizd^2+a^2 approx 1 - ddl(1 + tfraca^22d^2r) approx 1 - l(1 - tfraca^22d^2r) = a^22d^2
Substituindo em E:
E approx rhos2varepsilon0;a^22d^2;az = pi a^2rhos4pivarepsilon0d^2;az = Q4pivarepsilon0d^2;az,
onde Q=pi a^2rhos é a carga total do disco.

Resposta

E = rhos2varepsilon0l[1 - draizd^2+a^2r]az, dgg a:; E approx Q4pivarepsilon0d^2az

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