3.2.5 Determine o campo elétrico de um disco de cargas de raio
tendo uma distribuição de cargas uniforme de
sobre a sua superfície a uma distância
do seu centro e sobre uma linha através de seu eixo. Você precisará da integral
. Calcule essa expressão para uma distância muito maior que o raio do disco. Esse resultado para pontos distantes deve se reduzir àquele para uma carga pontual. Por quê?
. Para pontos distantes, o disco de cargas pode ser visto como uma carga pontual de carga igual à carga total contida no disco:
.]
Passo 1
O enunciado pede o campo elétrico gerado por um disco de raio
com densidade superficial de carga uniforme
medido ao longo do eixo que atravessa o centro do disco, a uma distância
desse centro. Vamos usar o princípio da superposição, decompondo o disco em anéis concêntricos e integrando a contribuição de cada anel. Também vamos precisar da integral fornecida
Passo 2
Considere um anel de raio
e espessura
. A carga desse anel é
O campo gerado por esse anel ao longo do eixo, no ponto a distância
, tem apenas componente
. Usando o resultado para um anel carregado,
Passo 3
Agora integramos
de
até
:
Usando a integral dada, obtemos
Logo
Passo 4
Portanto, o campo no eixo do disco, apontando no sentido
, é
Passo 5
Para distâncias muito maiores que o raio (
), podemos aproximar
então
Substituindo em
:
onde
é a carga total do disco.