3.1.2 Uma distribuição superficial de carga está contida em uma superfície lisa em forma de cunha cujos vértices são definidos no sistema de coordenadas retangulares por (2,1,2) m,(1,1,2) me(1,3,2) m. A distribuição de carga é dada por rhos=3 x y z C / m^2. Determine a carga total contida na superfície. [13 C]

Passo 1

O enunciado nos dá uma distribuição superficial de carga sobre uma superfície lisa em forma de triângulo cujos vértices são
(2,1,2), (1,1,2) e (1,3,2). A densidade superficial é
rhos(x,y,z)=3,x,y,z(C/m^2),
e queremos a carga total
Q=integral duplaSrhos,dS
O conteúdo principal aqui é calcular uma integral dupla de projeção no plano z=2.

Passo 2

Como toda a superfície está no plano z=2, temos
dS=dAxy,
ou seja, o elemento de área da superfície coincide com o elemento de área no plano xy. Além disso, na superfície z=2 a densidade fica
rhos(x,y,2)=3,x,y,(2)=6,x,y

Passo 3

A projeção da superfície no plano xy é o triângulo com vértices (1,1), (2,1) e (1,3).
Traçando o contorno, vemos que para cada x em [1,2], o y varia de 1 até o segmento que liga (2,1) a (1,3). A equação desse segmento é
y-1 = -2,(x-2) Longrightarrow y = -2x + 5
Logo a integral fica
Q = integralx=1^2!integraly=1^-2x+56,x,y;dy,dx

Passo 4

Calcule a integral interna em y:
integral1^-2x+5y,dy =[tfrac12y^2]1^-2x+5 =tfrac12l[(-2x+5)^2-1r]
Multiplicando por 6x
6xcdottfrac12l[(-2x+5)^2-1r] =3xl[(-2x+5)^2-1r]

Passo 5

Expanda e integre em x:
(-2x+5)^2-1 =4x^2-20x+25-1=4x^2-20x+24,
então o integrando é
3x,(4x^2-20x+24) =12x^3-60x^2+72x
Agora
Q = integral1^2l(12x^3-60x^2+72xr),dx =l[3x^4-20x^3+36x^2r]1^2 = (48-160+144)-(3-20+36) =32-19=13

Resposta

Q = 13 C

Exercícios relacionados