3.1.2 Uma distribuição superficial de carga está contida em uma superfície lisa em forma de cunha cujos vértices são definidos no sistema de coordenadas retangulares por
. A distribuição de carga é dada por
. Determine a carga total contida na superfície. [13 C]
Passo 1
O enunciado nos dá uma distribuição superficial de carga sobre uma superfície lisa em forma de triângulo cujos vértices são
,
e
. A densidade superficial é
e queremos a carga total
O conteúdo principal aqui é calcular uma integral dupla de projeção no plano
.
Passo 2
Como toda a superfície está no plano
, temos
ou seja, o elemento de área da superfície coincide com o elemento de área no plano
. Além disso, na superfície
a densidade fica
Passo 3
A projeção da superfície no plano
é o triângulo com vértices
,
e
.
Traçando o contorno, vemos que para cada em
, o
varia de
até o segmento que liga
a
. A equação desse segmento é
Traçando o contorno, vemos que para cada
Logo a integral fica
Passo 4
Calcule a integral interna em
:
Multiplicando por
dá
Passo 5
Expanda e integre em
:
então o integrando é
Agora