Determine o campo elétrico gerado por esfera maciça condutora de raio R carregada com uma carga Q em um ponto dentro da esfera a uma distância r 1 do seu centro, \mathrm{r}_{1}<\mathrm{R}, e em um ponto fora da esfera, a uma distância r2 do seu centro, com \mathrm{r}_{2}>\mathrm{R}.

Passo 1

O enunciado pede o campo elétrico de uma esfera metálica sólida de raio R com carga total Q, em dois casos:
– num ponto interno à esfera, a uma distância r_{1}<R do centro;
– num ponto externo à esfera, a uma distância r_{2}>R do centro.
O conteúdo principal é a Lei de Gauss em eletrostática e a propriedade de que, em equilíbrio eletrostático, todo condutor tem campo nulo no seu interior e toda carga reside na superfície.

Passo 2

Para analisar o ponto interno r_{1}<R, escolhemos uma superfície gaussiana esférica de raio r_{1}, concêntrica à esfera condutora. A Lei de Gauss diz:
\oint_{S} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} \;=\;\frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_{0}}.
Em um condutor em equilíbrio, não há carga no seu interior sólido, logo
Q_{\text{int}}=0.
Como a distribuição é esférica e uniforme, o campo tem só componente radial e é constante sobre a gaussiana. Assim
E(r_{1})\;4\pi r_{1}^{2} =\;0 \quad\Longrightarrow\quad E(r_{1})=0.

Passo 3

Para o ponto externo r_{2}>R, usamos outra superfície gaussiana esférica de raio r_{2}. Agora toda a carga Q está no interior dessa superfície, então
\oint_{S} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} =\frac{Q}{\varepsilon_{0}}.
Pela simetria esférica, \mathbf{E} é radial e constante em módulo na gaussiana, de modo que
E(r_{2})\,4\pi r_{2}^{2} =\frac{Q}{\varepsilon_{0}} \quad\Longrightarrow\quad E(r_{2}) =\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\;\frac{Q}{r_{2}^{2}}.

Resposta

Para r_{1}<R:
E(r_{1})=0.
Para r_{2}>R:
E(r_{2})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\;\frac{Q}{r_{2}^{2}},
sempre no sentido radial (para fora se Q>0, para dentro se Q<0).

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