Determine o campo gradiente nabla f(x, y) das funções dadas abaixo.
(d) f(x, y)=x^3 y-y^3 x,

Passo 1

O enunciado pede para achar o campo gradiente de uma função de duas variáveis. O conteúdo aqui é derivada parcial e vamos precisar usar a definição de gradiente: nabla f(x,y) = l(partial fpartial x,partial fpartial yr).

Passo 2

Para calcular partial fpartial x, tratamos y como constante e derivamos f(x,y)=x^3y - y^3x em relação a x: aplicando regra do produto e potência, obtemos partial fpartial x = 3x^2y - y^3.
Para calcular partial fpartial y, tratamos x como constante e derivamos f(x,y)=x^3y - y^3x em relação a y: aplicando regra do produto e potência, obtemos partial fpartial y = x^3 - 3xy^2.

Passo 3

Por fim, juntamos as derivadas parciais no vetor gradiente.
O campo gradiente é dado por nabla f(x,y) = l(partial fpartial x, partial fpartial yr).

Resposta

nabla f(x,y) = (3x^2y - y^3,;x^3 - 3xy^2).

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