Um material radioativo se desintegra a uma taxa proporcional à quantidade presente em cada instante. Supondo que a quantidade inicial de material seja Q0 e que 10 anos depois a quantidade de material seja equivalente a 2323 da quantidade inicial, determine sua meia-vida, isto é, quanto tempo leva para a quantidade inicial se desintegrar pela metade.
(Use essas informações:
e
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um material radioativo que está se desintegrando de maneira proporcional à quantidade que sobra a cada instante. A quantidade inicial é
e, após 10 anos, resta
dessa quantidade. O que queremos descobrir é o tempo que leva para a quantidade inicial diminuir pela metade, ou seja, a meia-vida do material. Para resolver isso, vamos usar a equação do decaimento exponencial e os valores de
e
que foram fornecidos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula do decaimento exponencial:
Aqui,
é a quantidade de material no tempo
,
é a quantidade inicial,
é a base do logaritmo natural, e
é a constante de decaimento que precisamos encontrar.
Passo 3
Sabemos que após 10 anos, a quantidade de material é
de
. Vamos substituir esses valores na fórmula:
Podemos simplificar dividindo os dois lados por
:
Passo 4
Para resolver para
, vamos aplicar o logaritmo natural nos dois lados da equação:
Sabemos que
. Então:
Passo 5
Agora, isolamos
:
Passo 6
Com o valor de
encontrado, podemos determinar a meia-vida
usando a fórmula:
Sabendo que
:
Resposta
A meia-vida do material radioativo é de 17,5 anos.