Um material radioativo se desintegra a uma taxa proporcional à quantidade presente em cada instante. Supondo que a quantidade inicial de material seja Q0 e que 10 anos depois a quantidade de material seja equivalente a 2323 da quantidade inicial, determine sua meia-vida, isto é, quanto tempo leva para a quantidade inicial se desintegrar pela metade.

(Use essas informações: ln 3=1,1 e ln 2=0,7)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um material radioativo que está se desintegrando de maneira proporcional à quantidade que sobra a cada instante. A quantidade inicial é e, após 10 anos, resta dessa quantidade. O que queremos descobrir é o tempo que leva para a quantidade inicial diminuir pela metade, ou seja, a meia-vida do material. Para resolver isso, vamos usar a equação do decaimento exponencial e os valores de e que foram fornecidos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula do decaimento exponencial:
Q(t) = Q0 cdot e^-kt
Aqui, é a quantidade de material no tempo , é a quantidade inicial, é a base do logaritmo natural, e é a constante de decaimento que precisamos encontrar.

Passo 3

Sabemos que após 10 anos, a quantidade de material é 23 Q0 = Q0 cdot e^-k cdot 10 de 23 = e^-10k . Vamos substituir esses valores na fórmula:
Podemos simplificar dividindo os dois lados por :

Passo 4

Para resolver para ln(23) = -10k , vamos aplicar o logaritmo natural nos dois lados da equação:
-0,4 = -10k
Sabemos que . Então:

Passo 5

Agora, isolamos k = 0,410 = 0,04 ano^-1 :

Passo 6

Com o valor de T1/2 = ln 2k encontrado, podemos determinar a meia-vida T1/2 = 0,70,04 = 17,5 anos usando a fórmula:
Sabendo que :

Resposta

A meia-vida do material radioativo é de 17,5 anos.

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