Determine o campo gradiente
das funções dadas abaixo.
(b)
,
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar o campo gradiente da função $ f(x, y, z) = e^{x} \sin(y) + z^{2} $. Isso faz parte do estudo de cálculo vetorial, especificamente sobre gradientes e derivadas parciais. Para isso, vamos precisar entender como calcular derivadas parciais em relação a cada variável.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o campo gradiente. O gradiente de uma função $ f(x, y, z) $ é um vetor que aponta na direção de máxima taxa de variação da função e é composto pelas derivadas parciais de $ f $ em relação a cada variável. A fórmula geral do gradiente é:
Então, nosso objetivo é encontrar cada uma dessas derivadas parciais.
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{\partial f}{\partial x} $. A função é $ f(x, y, z) = e^{x} \sin(y) + z^{2} $. Quando derivamos em relação a $ x $, tratamos $ y $ e $ z $ como constantes. A derivada de $ e^{x} \sin(y) $ em relação a $ x $ é $ e^{x} \sin(y) $, e a derivada de $ z^{2} $ em relação a $ x $ é 0. Portanto:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $, ou seja, $ \frac{\partial f}{\partial y} $. Novamente, consideramos $ x $ e $ z $ como constantes. A derivada de $ e^{x} \sin(y) $ em relação a $ y $ é $ e^{x} \cos(y) $, e a derivada de $ z^{2} $ em relação a $ y $ é 0. Então:
Passo 5
Por fim, vamos calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ z $, ou seja, $ \frac{\partial f}{\partial z} $. Aqui, $ x $ e $ y $ são tratados como constantes. A derivada de $ e^{x} \sin(y) $ em relação a $ z $ é 0, e a derivada de $ z^{2} $ em relação a $ z $ é $ 2z $. Assim:
Resposta
Agora, juntando todas as derivadas parciais, o campo gradiente de $ f $ é: