Determine o campo gradiente nabla f(x, y, z) das funções dadas abaixo.
(b) f(x, y, z)=e^x sin (y)+z^2,

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar o campo gradiente da função $ f(x, y, z) = e^{x} \sin(y) + z^{2} $. Isso faz parte do estudo de cálculo vetorial, especificamente sobre gradientes e derivadas parciais. Para isso, vamos precisar entender como calcular derivadas parciais em relação a cada variável.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o campo gradiente. O gradiente de uma função $ f(x, y, z) $ é um vetor que aponta na direção de máxima taxa de variação da função e é composto pelas derivadas parciais de $ f $ em relação a cada variável. A fórmula geral do gradiente é:
f(x, y, z)
Então, nosso objetivo é encontrar cada uma dessas derivadas parciais.

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{\partial f}{\partial x} $. A função é $ f(x, y, z) = e^{x} \sin(y) + z^{2} $. Quando derivamos em relação a $ x $, tratamos $ y $ e $ z $ como constantes. A derivada de $ e^{x} \sin(y) $ em relação a $ x $ é $ e^{x} \sin(y) $, e a derivada de $ z^{2} $ em relação a $ x $ é 0. Portanto:
f

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $, ou seja, $ \frac{\partial f}{\partial y} $. Novamente, consideramos $ x $ e $ z $ como constantes. A derivada de $ e^{x} \sin(y) $ em relação a $ y $ é $ e^{x} \cos(y) $, e a derivada de $ z^{2} $ em relação a $ y $ é 0. Então:
f

Passo 5

Por fim, vamos calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ z $, ou seja, $ \frac{\partial f}{\partial z} $. Aqui, $ x $ e $ y $ são tratados como constantes. A derivada de $ e^{x} \sin(y) $ em relação a $ z $ é 0, e a derivada de $ z^{2} $ em relação a $ z $ é $ 2z $. Assim:
f

Resposta

Agora, juntando todas as derivadas parciais, o campo gradiente de $ f $ é:
f

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