Determine o campo gradiente
das funções dadas abaixo.
©
.
©
Passo 1
Beleza, vamos resolver um exercício de Cálculo Vetorial onde precisamos encontrar o campo gradiente, representado por
, da função
. Para isso, vamos usar a definição de gradiente e aplicar derivadas parciais em relação a cada variável.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente. O gradiente de uma função
é um vetor que aponta na direção da maior taxa de aumento da função e é dado por:
Então, precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
,
e
.
Passo 3
Vamos começar calculando a derivada parcial de
em relação a
. A função é:
Usando a regra da cadeia, a derivada de
é
multiplicado pela derivada de
. Assim:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
. Novamente, aplicamos a regra da cadeia:
Passo 5
Por fim, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Resposta
O campo gradiente da função é: