Determine o campo gradiente nabla f(x, y, z) das funções dadas abaixo.
© f(x, y, z)=ln (x^2-y^2+z^2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício de Cálculo Vetorial onde precisamos encontrar o campo gradiente, representado por nabla f(x, y, z), da função f(x, y, z) = ln (x^2 - y^2 + z^2). Para isso, vamos usar a definição de gradiente e aplicar derivadas parciais em relação a cada variável.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente. O gradiente de uma função f(x, y, z) é um vetor que aponta na direção da maior taxa de aumento da função e é dado por:
nabla f = ( partial fpartial x, partial fpartial y, partial fpartial z )
Então, precisamos calcular as derivadas parciais de f em relação a x, y e z.

Passo 3

Vamos começar calculando a derivada parcial de f em relação a x. A função é:
f(x, y, z) = ln (x^2 - y^2 + z^2)
Usando a regra da cadeia, a derivada de ln(u) é 1/u multiplicado pela derivada de u. Assim:
partial fpartial x = 1x^2 - y^2 + z^2 cdot partialpartial x(x^2 - y^2 + z^2) = 1x^2 - y^2 + z^2 cdot 2x = 2xx^2 - y^2 + z^2

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de f em relação a y. Novamente, aplicamos a regra da cadeia:
partial fpartial y = 1x^2 - y^2 + z^2 cdot partialpartial y(x^2 - y^2 + z^2) = 1x^2 - y^2 + z^2 cdot (-2y) = -2yx^2 - y^2 + z^2

Passo 5

Por fim, vamos calcular a derivada parcial de f em relação a z:
partial fpartial z = 1x^2 - y^2 + z^2 cdot partialpartial z(x^2 - y^2 + z^2) = 1x^2 - y^2 + z^2 cdot 2z = 2zx^2 - y^2 + z^2

Resposta

O campo gradiente da função é:
nabla f(x, y, z) = ( 2xx^2 - y^2 + z^2, -2yx^2 - y^2 + z^2, 2zx^2 - y^2 + z^2 )

Exercícios relacionados