Uma carga q está em repouso na origem do referencial S0.
(a) Obtenha a forma do campo elétrico desta carga quando observado de um referencial S que se move com velocidade v na direção x;
(b) Seja P um ponto fixo no plano x, y de S, mostre que o campo acima pode ser escrito como
E=14 pi varepsilon0 gamma q r(gamma^2 r^2 cos ^2 theta+r^2 sin ^2 theta)^3 / 2, gamma=1raiz1-v^2c^2
onde
& rx=x+v t & ry=y, rz=z=0
são as coordenadas do ponto P em S até a carga e theta o ângulo que r faz com o eixo x.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma carga q em repouso no referencial S0 e queremos achar o campo elétrico visto num referencial S que se move com velocidade v ao longo do eixo x. O conteúdo usado será a lei de Coulomb em S0 e as transformações de campos eletromagnéticos entre referenciais inerciais (componentes paralela e perpendicular à velocidade relativa).

Passo 2

No referencial S0, onde a carga está em repouso na origem, o campo elétrico num ponto de coordenadas (x0,y0,z0) é dado pela lei de Coulomb:
E0 =14pivarepsilon0, q,(x0,y0,z0)l(x0^2+y0^2+z0^2r)^3/2
Além disso, B0=0 em todo ponto, pois a carga está em repouso em S0.

Passo 3

Para transformar para o referencial S, cuja origem coincide em t=0 e que se move a v=v,x relativo a S0, usamos as transformações
Eparal<=l=E0paral<=l, Eperp=gamma,E0perp, gamma=1raiz1-v^2c^2
Aqui “ paral<=l” e “ perp” são componentes paralela e perpendicular a v. Como B0=0, não aparece termo adicional.

Passo 4

Num ponto fixo P de S de coordenadas (x,y,0) no instante t, a carga, vista em S, está em (-v,t,0,0). Logo o vetor separação é
r =(rx,ry,0) =(x+v,t,;y,;0)
No referencial S0, devido à relatividade da simultaneidade, as coordenadas espaciais correspondentes são
x0=gamma,(x+v,t), y0=y, z0=0,
e o módulo
R0 =raizgamma^2(x+v,t)^2+y^2
Desse modo
E0x =q4pivarepsilon0, gamma,(x+v,t)R0^3, E0y =q4pivarepsilon0, yR0^3
Aplicando as transformações:
Ex=E0x, Ey=gamma,E0y, Ez=0,
obtém-se
Ex =q4pivarepsilon0, gamma,(x+v,t)l[gamma^2(x+v,t)^2+y^2r]^3/2, Ey =q4pivarepsilon0, gamma,yl[gamma^2(x+v,t)^2+y^2r]^3/2

Passo 5

Escrevendo em forma vetorial no plano z=0,
E =q,gamma4pivarepsilon0, (rx,,ry,,0) l[gamma^2rx^2+ry^2r]^3/2
Onde r=(rx,ry,0) e rx=x+v,t, ry=y.

Passo 6

Definindo o módulo r=raizrx^2+ry^2 e o ângulo theta entre r e o eixo x tais que
rx=rcostheta, ry=rsintheta,
temos
gamma^2rx^2+ry^2 =r^2l(gamma^2cos^2theta+sin^2thetar),
logo
E =14pivarepsilon0 , gamma,q,r l(gamma^2r^2cos^2theta+r^2sin^2thetar)^3/2

Resposta

(a) Num referencial que se move a v em x,
Ex =q4pivarepsilon0 , gamma,(x+v,t) l[gamma^2(x+v,t)^2+y^2r]^3/2, Ey =q4pivarepsilon0 , gamma,y l[gamma^2(x+v,t)^2+y^2r]^3/2, Ez=0
(b) Mostramos que isso equivale a
E =14 pi varepsilon0 gamma q ,r l(gamma^2r^2cos^2theta+r^2sin^2thetar)^3/2

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