Determine se o campo \vec{F}: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} é um acampo conservativos. Em caso afirmativo, encontre uma função potencial para o campo \vec{F}.
\vec{F}(x, y, z)=x y \vec{i}+e^{x} \vec{j}+e^{z} \vec{k}

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
\vec{F}(x,y,z) = P\,\vec{i} + Q\,\vec{j} + R\,\vec{k} \quad\text{com}\quad P(x,y,z)=xy,\;Q(x,y,z)=e^{x},\;R(x,y,z)=e^{z},
definido em \mathbb{R}^3. Queremos saber se \vec{F} é conservativo. Num domínio simplesmente-conexo como \mathbb{R}^3, \vec{F} é conservativo se, e somente se, seu rotacional for o vetor zero:
\nabla \times \vec{F} = \vec{0}.

Passo 2

Calculamos as componentes do rotacional \nabla\times\vec{F}:
\nabla\times\vec{F} =\Bigl(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z},\; \frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x},\; \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr).
Agora cada derivada:
\frac{\partial R}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} e^{z} = 0, \quad \frac{\partial Q}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z} e^{x} = 0,
\frac{\partial P}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z} (xy) = 0, \quad \frac{\partial R}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} e^{z} = 0,
\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} e^{x} = e^{x}, \quad \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (xy) = x.

Passo 3

Substituindo no rotacional, obtemos
\nabla\times\vec{F} =(0-0,\;0-0,\;e^{x}-x) =(0,0,e^{x}-x).
Como a terceira componente e^{x}-x não é identicamente zero em \mathbb{R}^3, temos \nabla\times\vec{F}\neq\vec{0}.

Resposta

O campo \vec{F} não é conservativo, logo não existe função potencial.

Exercícios relacionados