Determine se o campo \vec{F}: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} é um acampo conservativos. Em caso afirmativo, encontre uma função potencial para o campo \vec{F}.
\vec{F}(x, y, z)=\left(2 x z+y^{2}\right) \vec{i}+2 x y \vec{j}+\left(e^{z}+x^{2}\right) \vec{k}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o campo vetorial \vec F: \mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3} definido por
\vec F(x,y,z) = (2xz + y^2)\,\vec i + 2xy\,\vec j + (e^z + x^2)\,\vec k
é conservativo e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial. O conteúdo envolvido é o teste do rotacional em \mathbb{R}^3 (em domínio simplesmente conexo) e a integração das componentes para obter o potencial.

Passo 2

Como \mathbb{R}^3 é simplesmente conexo, basta mostrar que
\nabla \times \vec F = \vec 0.
Compute-se
\nabla \times \vec F = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\[6pt] \partial/\partial x & \partial/\partial y & \partial/\partial z \\[3pt] 2xz + y^2 & 2xy & e^z + x^2 \end{vmatrix}.
As componentes são
\frac{\partial Q}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial y} = \frac{\partial (2xy)}{\partial z} - \frac{\partial (e^z + x^2)}{\partial y} = 0 - 0 = 0,
\frac{\partial R}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial z} = \frac{\partial (e^z + x^2)}{\partial x} - \frac{\partial (2xz + y^2)}{\partial z} = 2x - 2x = 0,
\frac{\partial P}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial (2xz + y^2)}{\partial y} - \frac{\partial (2xy)}{\partial x} = 2y - 2y = 0.
Logo \nabla \times \vec F = \vec 0.]

Passo 3

Como o rotacional é zero em domínio simplesmente conexo, \vec F é conservativo. Existe f(x,y,z) tal que \nabla f = \vec F. Integramos a primeira componente P=2xz+y^2 em relação a x:
f(x,y,z) = \int (2xz + y^2)\,dx = x^2 z + x\,y^2 + g(y,z),
onde g(y,z) é uma função a determinar.

Passo 4

Impondo \partial f/\partial y = Q = 2xy, obtemos
\frac{\partial f}{\partial y} = 2xy + \frac{\partial g}{\partial y} \;\overset{!}{=}\;2xy \quad\Longrightarrow\quad \frac{\partial g}{\partial y}=0,
logo g depende apenas de z: g=g(z).

Passo 5

Impondo \partial f/\partial z = R = e^z + x^2, temos
\frac{\partial f}{\partial z} = x^2 + g'(z) \;\overset{!}{=}\;e^z + x^2 \quad\Longrightarrow\quad g'(z)=e^z \;\Rightarrow\; g(z)=e^z + C.

Resposta

O campo \vec F é conservativo e uma função potencial é
f(x,y,z) = x^2 z + x\,y^2 + e^z + C.

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