Determine se o campo \vec{F}: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} é um acampo conservativos. Em caso afirmativo, encontre uma função potencial para o campo \vec{F}. \vec{F}(x, y, z)=\left(2 x z+y^{2}\right) \vec{i}+2 x y \vec{j}+\left(e^{z}+x^{2}\right) \vec{k}
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o campo vetorial \vec F: \mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3} definido por
\vec F(x,y,z) = (2xz + y^2)\,\vec i + 2xy\,\vec j + (e^z + x^2)\,\vec k
é conservativo e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial. O conteúdo envolvido é o teste do rotacional em \mathbb{R}^3 (em domínio simplesmente conexo) e a integração das componentes para obter o potencial.
Passo 2
Como \mathbb{R}^3 é simplesmente conexo, basta mostrar que
\nabla \times \vec F = \vec 0.
Compute-se
\nabla \times \vec F = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\[6pt] \partial/\partial x & \partial/\partial y & \partial/\partial z \\[3pt] 2xz + y^2 & 2xy & e^z + x^2 \end{vmatrix}.
Como o rotacional é zero em domínio simplesmente conexo, \vec F é conservativo. Existe f(x,y,z) tal que \nabla f = \vec F. Integramos a primeira componente P=2xz+y^2 em relação a x: