Determine se o campo \vec{F}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} é um campo vetorial conservativo. Em caso afirmativo, determine uma função potencial para o campo \vec{F}.
\vec{F}(x, y)=(2 x \cos y-y \cos x) \vec{i}+\left(-x^{2} \operatorname{sen} y-\operatorname{sen} x\right) \vec{j}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o campo \displaystyle \vec F(x,y)=\bigl(P(x,y),\,Q(x,y)\bigr)
com
P(x,y)=2x\cos y - y\cos x, \qquad Q(x,y)=-x^{2}\sin y - \sin x
é conservativo em \mathbb R^2 (domínio simplesmente conexo) e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial \varphi(x,y) tal que
\nabla \varphi(x,y)=\bigl(\phi_x,\phi_y\bigr)=\bigl(P,Q\bigr).

Passo 2

Para ser conservativo em \mathbb R^2 precisamos ter
\frac{\partial P}{\partial y} =\frac{\partial Q}{\partial x}.
Calculemos cada derivada:
\frac{\partial P}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(2x\cos y - y\cos x\bigr) =-2x\sin y - \cos x,
\frac{\partial Q}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(-x^{2}\sin y - \sin x\bigr) =-2x\sin y - \cos x.
Como \partial P/\partial y=\partial Q/\partial x, o campo é conservativo.

Passo 3

Buscamos \varphi(x,y) satisfazendo \phi_x=P. Integramos P em relação a x, tratando y como constante:
\varphi(x,y) =\int\bigl(2x\cos y - y\cos x\bigr)\,dx =\int 2x\cos y\,dx \;-\;\int y\cos x\,dx =x^{2}\cos y \;-\;y\sin x + h(y),
onde h(y) é uma “constante” de integração que pode depender de y.

Passo 4

Agora impomos \phi_y=Q. Diferenciando a expressão encontrada:
\phi_y =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{2}\cos y - y\sin x + h(y)\bigr) =-x^{2}\sin y - \sin x + h'(y).
Comparando com Q=-x^{2}\sin y - \sin x segue que
h'(y)=0 \quad\Longrightarrow\quad h(y)=\text{constante}.
Podemos escolher essa constante igual a zero.

Resposta

O campo é conservativo e uma função potencial é
\boxed{\varphi(x,y)=x^{2}\cos y - y\sin x.}

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