Determine se o campo
é um campo vetorial conservativo. Em caso afirmativo, determine uma função potencial para o campo
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o campo
com
com
é conservativo em
(domínio simplesmente conexo) e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial
tal que
Passo 2
Para ser conservativo em
precisamos ter
Calculemos cada derivada:
Como
, o campo é conservativo.
Passo 3
Buscamos
satisfazendo
. Integramos
em relação a
, tratando
como constante:
onde
é uma “constante” de integração que pode depender de
.
Passo 4
Agora impomos
. Diferenciando a expressão encontrada:
Comparando com
segue que
Podemos escolher essa constante igual a zero.
Resposta
O campo é conservativo e uma função potencial é