Determine se o campo vetorial
conservativo ou não. Se for conservativo, ache a função potencial.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me enviou um exercício que pede para determinar se o campo vetorial
é conservativo ou não. Se for conservativo, também temos que achar a função potencial. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre campos conservativos e o cálculo do rotacional (ou curl) de um campo vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa um campo vetorial ser conservativo. Um campo vetorial é dito conservativo se existir uma função escalar
tal que:
Isso significa que
é o gradiente de alguma função
. Uma propriedade importante dos campos conservativos é que o rotacional (ou curl) de
é igual a zero em todo o domínio onde o campo é definido:
Então, para verificar se
é conservativo, vamos calcular o rotacional de
e ver se �� nulo.
Passo 3
Vamos calcular o rotacional de
. O rotacional de um campo vetorial
é dado por:
No nosso caso, temos:
Vamos calcular cada componente do rotacional.
Passo 4
Calculando a primeira componente do rotacional:
Primeiro, calculemos
:
Derivando em relação a
:
Agora, calculemos
:
Derivando em relação a
:
Portanto:
Passo 5
Agora, vamos calcular a segunda componente do rotacional:
Primeiro, calculemos
:
Derivando em relação a
:
Agora, calculemos
:
Derivando em relação a
:
Portanto:
Passo 6
Por último, vamos calcular a terceira componente do rotacional:
Primeiro, calculemos
:
Derivando em relação a
:
Agora, calculemos
:
Derivando em relação a
:
Portanto:
Passo 7
Agora, juntando todas as componentes que calculamos, o rotacional de
é:
Para que
seja conservativo, todas essas componentes devem ser iguais a zero. Vamos analisar isso:
- A primeira componente:
não é necessariamente zero para todos os valores de . - A segunda componente:
também não é necessariamente zero para todos os valores de . - A terceira componente já vimos que é zero.
Como nem todas as componentes são zero, o rotacional de
não é nulo em geral.
Resposta
O campo vetorial
não é conservativo, pois o seu rotacional não é igual a zero em geral.