Determine se o campo vetorial
F(x, y, z)=x(x^2+y^2+z^2)^3 / 2 i+y(x^2+y^2+z^2)^3 / 2 j+x(x^2+y^2+z^2)^3 / 2 k é é
conservativo ou não. Se for conservativo, ache a função potencial.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me enviou um exercício que pede para determinar se o campo vetorial
F(x, y, z) = x(x^2+y^2+z^2)^3/2 i + y(x^2+y^2+z^2)^3/2 j + x(x^2+y^2+z^2)^3/2 k
é conservativo ou não. Se for conservativo, também temos que achar a função potencial. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre campos conservativos e o cálculo do rotacional (ou curl) de um campo vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa um campo vetorial ser conservativo. Um campo vetorial é dito conservativo se existir uma função escalar F = nabla f tal que:
nabla times F = 0
Isso significa que é o gradiente de alguma função . Uma propriedade importante dos campos conservativos é que o rotacional (ou curl) de é igual a zero em todo o domínio onde o campo é definido:
Então, para verificar se é conservativo, vamos calcular o rotacional de e ver se �� nulo.

Passo 3

Vamos calcular o rotacional de nabla times F = ( partial Rpartial y - partial Qpartial z ) i + ( partial Ppartial z - partial Rpartial x ) j + ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) k . O rotacional de um campo vetorial é dado por:
No nosso caso, temos:
Vamos calcular cada componente do rotacional.

Passo 4

Calculando a primeira componente do rotacional:
partial Rpartial y - partial Qpartial z
Primeiro, calculemos R = x(x^2+y^2+z^2)^3/2 :
partial Rpartial y = -3x y(x^2+y^2+z^2)^5/2
Derivando em relação a Q = y(x^2+y^2+z^2)^3/2 :
partial Qpartial z = -3y z(x^2+y^2+z^2)^5/2
Agora, calculemos partial Rpartial y - partial Qpartial z = -3x y + 3y z(x^2+y^2+z^2)^5/2 :
Derivando em relação a :
Portanto:

Passo 5

Agora, vamos calcular a segunda componente do rotacional:
partial Ppartial z - partial Rpartial x
Primeiro, calculemos P = x(x^2+y^2+z^2)^3/2 :
partial Ppartial z = -3x z(x^2+y^2+z^2)^5/2
Derivando em relação a R = x(x^2+y^2+z^2)^3/2 :
partial Rpartial x = 1(x^2+y^2+z^2)^3/2 + -3x^2(x^2+y^2+z^2)^5/2
Agora, calculemos partial Ppartial z - partial Rpartial x = -3x z(x^2+y^2+z^2)^5/2 - ( 1 - 3x^2(x^2+y^2+z^2)^5/2 ) = -3x z - 1 + 3x^2(x^2+y^2+z^2)^5/2 :
Derivando em relação a :
Portanto:

Passo 6

Por último, vamos calcular a terceira componente do rotacional:
partial Qpartial x - partial Ppartial y
Primeiro, calculemos Q = y(x^2+y^2+z^2)^3/2 :
partial Qpartial x = -3y x(x^2+y^2+z^2)^5/2
Derivando em relação a P = x(x^2+y^2+z^2)^3/2 :
partial Ppartial y = -3x y(x^2+y^2+z^2)^5/2
Agora, calculemos partial Qpartial x - partial Ppartial y = -3y x + 3x y(x^2+y^2+z^2)^5/2 = 0 :
Derivando em relação a :
Portanto:

Passo 7

Agora, juntando todas as componentes que calculamos, o rotacional de nabla times F = ( -3x y + 3y z(x^2+y^2+z^2)^5/2 ) i + ( -3x z - 1 + 3x^2(x^2+y^2+z^2)^5/2 ) j + 0 k é:
Para que seja conservativo, todas essas componentes devem ser iguais a zero. Vamos analisar isso:
  1. A primeira componente: não é necessariamente zero para todos os valores de .
  2. A segunda componente: também não é necessariamente zero para todos os valores de .
  3. A terceira componente já vimos que é zero.
Como nem todas as componentes são zero, o rotacional de não é nulo em geral.

Resposta

O campo vetorial não é conservativo, pois o seu rotacional não é igual a zero em geral.

Exercícios relacionados