Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha (1 ponto)
oint 2 x y d x+(x+y) d y
onde C é a fronteira da região entre os gráficos de y=0 e y=4-x^2.

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral de linha ointC 2xy,dx + (x+y),dy aplicando o Teorema de Green. Aqui P(x,y)=2xy e Q(x,y)=x+y, e a região R é delimitada por y=0 e y=4-x^2. Vamos usar que ointC P,dx+Q,dy=integral duplaRl(partialxQ-partialyPr),dA.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais:
partialxQ=partialpartial x(x+y)=1 e partialyP=partialpartial y(2xy)=2x. Logo
partialxQ-partialyP=1-2x

Passo 3

Descrever a região e montar a integral dupla: x varia de -2 a 2, pois 4-x^2=0 em x=pm2, e y vai de 0 a 4-x^2. Assim
integral duplaR(1-2x),dA=integralx=-2^2integraly=0^4-x^2(1-2x),dy,dx

Passo 4

Fazer a integração em y:
integral0^4-x^2(1-2x),dy=(1-2x)(4-x^2)

Passo 5

Agora integrar em x: expandindo
(1-2x)(4-x^2)=4-8x-x^2+2x^3,
observa-se que os termos ímpares em x se anulam no intervalo simétrico [-2,2]. Sobra
integral-2^2(4-x^2),dx=l[4x-x^33r]-2^2=323

Resposta

323

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