Determine se F é um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função f tal que F = nabla f.
F(x, y) = (1 + 4 x^3 y^3) i + 3 x^4 y^2 j

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente descobrir se o campo vetorial é um campo vetorial conservativo. Se for, precisamos encontrar uma função tal que . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas parciais e condições de conservatividade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa um campo vetorial ser conservativo. Um campo é conservativo se ele pode ser expresso como o gradiente de uma função escalar . Isso implica que as derivadas parciais cruzadas do campo devem ser iguais. Ou seja, se , então devemos ter:
Vamos verificar isso para o nosso campo.

Passo 3

Identificamos e a partir de :
Agora, calculamos as derivadas parciais:

Passo 4

Comparando as duas derivadas parciais:
Como , o campo satisfaz a condição de ser conservativo.

Passo 5

Agora que sabemos que é conservativo, vamos encontrar a função tal que . Isso significa que:
Vamos integrar em relação a :
Onde é uma função que depende apenas de . Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Isso nos mostra que , então é uma constante. Podemos considerar essa constante como zero para simplificar.

Resposta

Sim, é um campo vetorial conservativo. A função tal que é:

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