Determine se F é um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função f tal que F = nabla f.
F(x, y) = (y * e^(x * y) + 4 * x^3 * y) * i + (x * e^(x * y) + x^4) * j

Passo 1

Vamos resolver um exercício de campos vetoriais conservativos, que faz parte do Cálculo Vetorial. Precisamos verificar se o campo vetorial dado é conservativo. Se for, vamos encontrar uma função tal que , onde representa o gradiente de .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as componentes do campo vetorial :
Onde:

Passo 3

Para verificar se é conservativo, precisamos checar se as derivadas parciais cruzadas são iguais, ou seja:
Vamos calcular cada uma delas.
Primeiro, calculemos :
Agora, calculemos :

Passo 4

Observamos que:
Como as derivadas parciais são iguais, o campo vetorial é conservativo.

Passo 5

Agora, vamos encontrar a função tal que . Isso significa que:
Vamos integrar em relação a para encontrar :
Integrando termo a termo:
Simplificando:
Onde é uma função que depende apenas de . Para determinar , derivamos em relação a e igualamos a :
Isso implica que , portanto é uma constante. Podemos considerar para simplificar.

Resposta

A função tal que é:

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