Encontre uma função f tal que F = nabla f
F(x, y) = e^(2y) i + (1 + 2x e^(2y)) j,
C: r(t) = t e^t i + (1+t) j, 0 <= t <= 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos uma função tal que o vetor . Isso significa que é o gradiente de . O gradiente é um conceito da Cálculo Vetorial que nos ajuda a encontrar funções potenciais. Vamos precisar usar integrais parciais para descobrir .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa . O gradiente de é dado por:
Então, se , igualando as componentes:

Passo 3

Vamos integrar a primeira equação em relação a para encontrar :
Aqui, é uma função que depende só de , já que a derivada em relação a eliminou qualquer termo que fosse apenas de .

Passo 4

Agora, vamos usar a segunda equação para determinar . Sabemos que:
Substituindo que encontramos:
Igualando com a segunda componente de :
Simplificando:
Integrando em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Substituindo de volta na expressão para :
Como a constante não afeta o gradiente, podemos simplesmente descartá-la para a função potencial.

Resposta

A função que satisfaz é:

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