Determine o trabalho realizado pelo campo de força
F(x, y) = x^2 y^3 i + x^3 y^2 j
ao mover um objeto de P(0,0) a Q(2,1).

Passo 1

Então, vamos lá! A questão nos pede para calcular o trabalho realizado por um campo de força quando movemos um objeto do ponto até o ponto . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre cálculo vetorial, especificamente integrais de linha que ajudam a calcular o trabalho feito por um campo de força ao longo de um caminho.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o trabalho realizado por um campo de força ao mover um objeto ao longo de um caminho é dado pela integral de linha:
Aqui, é o vetor força, é um pequeno deslocamento ao longo do caminho, e o ponto representa o produto escalar.

Passo 3

Nosso campo de força é dado por:
E queremos mover o objeto do ponto até . Para simplificar, vamos escolher um caminho direto, uma linha reta que vai de a .

Passo 4

Vamos parametrizar o caminho usando um parâmetro que varia de 0 a 1. Assim, as equações paramétricas para a linha reta são:
onde .

Passo 5

Agora, precisamos encontrar , que é o vetor deslocamento infinitesimal ao longo do caminho. Derivando e em relação a :
Então,

Passo 6

Vamos substituir e no campo de força :

Passo 7

Agora, calculamos o produto escalar :

Passo 8

Finalmente, integramos de a para encontrar o trabalho :

Resposta

O trabalho realizado pelo campo de força é unidades de trabalho.

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