Determine se o campo vetorial é conservativo ou não.
Passo 1
O enunciado nos dá o campo vetorial
e pede para determinar se ele é conservativo. Em simplesmente conexo, um campo é conservativo se, e somente se, seu rotacional for zero, ou seja,
.
e pede para determinar se ele é conservativo. Em
Passo 2
Escrevemos as componentes de
:
Calculamos
Logo
.
Passo 3
Calculamos
Logo
.
Passo 4
Calculamos
Logo
.
Passo 5
Como todas as parcelas do rotacional se anulam e o domínio é simplesmente conexo, concluímos que
,
portanto é conservativo.
portanto
Passo 6
Para encontrar a função potencial
, integramos
Derivando em
e igualando a
achamos
; derivando em
e igualando a
achamos
. Logo
é constante e
Resposta
O campo é conservativo em
, e uma de suas potenciais é