Determine se o campo vetorial é conservativo ou não.
F(x, y, z) e^{y z} i+x z e^{y z} j+x y e^{y z} k

Passo 1

O enunciado nos dá o campo vetorial
\mathbf{F}(x,y,z)=e^{yz}\,\mathbf{i}+xze^{yz}\,\mathbf{j}+xye^{yz}\,\mathbf{k}
e pede para determinar se ele é conservativo. Em \mathbb{R}^3 simplesmente conexo, um campo é conservativo se, e somente se, seu rotacional for zero, ou seja, \nabla\times\mathbf{F}=\mathbf{0}.

Passo 2

Escrevemos as componentes de \mathbf{F}:
P=e^{yz},\quad Q=xz\,e^{yz},\quad R=xy\,e^{yz}.
Calculamos
\frac{\partial Q}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(xz\,e^{yz}\bigr) =z\,e^{yz}, \quad \frac{\partial P}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^{yz}\bigr) =z\,e^{yz}.
Logo \partial Q/\partial x=\partial P/\partial y.

Passo 3

Calculamos
\frac{\partial R}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(xy\,e^{yz}\bigr) =y\,e^{yz}, \quad \frac{\partial P}{\partial z} =\frac{\partial}{\partial z}\bigl(e^{yz}\bigr) =y\,e^{yz}.
Logo \partial R/\partial x=\partial P/\partial z.

Passo 4

Calculamos
\frac{\partial R}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(xy\,e^{yz}\bigr) =x\,e^{yz}+xyz\,e^{yz},
\frac{\partial Q}{\partial z} =\frac{\partial}{\partial z}\bigl(xz\,e^{yz}\bigr) =x\,e^{yz}+xyz\,e^{yz}.
Logo \partial R/\partial y=\partial Q/\partial z.

Passo 5

Como todas as parcelas do rotacional se anulam e o domínio é simplesmente conexo, concluímos que
\nabla\times\mathbf{F}=\mathbf{0},
portanto \mathbf{F} é conservativo.

Passo 6

Para encontrar a função potencial \varphi, integramos
\frac{\partial\varphi}{\partial x}=e^{yz} \quad\Longrightarrow\quad \varphi(x,y,z)=x\,e^{yz}+g(y,z).
Derivando em y e igualando a Q achamos g_y=0; derivando em z e igualando a R achamos g_z=0. Logo g é constante e
\varphi(x,y,z)=x\,e^{yz}+C.

Resposta

O campo é conservativo em \mathbb{R}^3, e uma de suas potenciais é
\varphi(x,y,z)=x\,e^{yz}+C.

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