Classifique as seguintes séries como convergentes ou divergentes. Justifique suas respostas.
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{\sqrt{n^{2}+1}}{n^{3}+1}

Passo 1

O enunciado nos pede para classificar a série
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{\sqrt{n^{2}+1}}{n^{3}+1}
como convergente ou divergente. Vamos usar o teste comparativo de limite, comparando com a série p-ádica \sum \frac{1}{n^{2}}, que sabemos convergir pois p=2>1.

Passo 2

Denotando
a_{n} = \frac{\sqrt{n^{2}+1}}{n^{3}+1},
observamos para n grande que \sqrt{n^{2}+1}\sim n e n^{3}+1\sim n^{3}, logo heurística indica a_{n}\sim1/n^{2}.

Passo 3

Aplicamos o teste comparativo de limite calculando
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n}}{1/n^{2}} = \lim_{n\to\infty}\frac{n^{2}\sqrt{n^{2}+1}}{\,n^{3}+1\,} = \lim_{n\to\infty}\frac{n^{3}\sqrt{1+1/n^{2}}}{n^{3}(1+1/n^{3})} = \frac{\sqrt{1+0}}{1+0} =1.
Como esse limite é um número finito e positivo, o teste garante que \sum a_{n} converge ou diverge junto com \sum1/n^{2}.

Passo 4

Sabendo que \sum1/n^{2} é convergente (série p com p=2>1), concluímos que a série dada também é convergente pelo teste comparativo de limite.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}\frac{\sqrt{n^{2}+1}}{n^{3}+1} é convergente.

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