Resolva:
y^{\prime \prime}+\frac{x-2}{x^{2}-x} y^{\prime}=0,0<x<1

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação
y'' + \frac{x-2}{x^{2}-x}\,y' = 0,\quad 0<x<1.
Este é um caso padrão de equação de segunda ordem sem termo em y, isto é, da forma
y'' + p(x)\,y' = 0.
O método consiste em fazer a redução de ordem definindo z=y', resolvendo uma equação de primeira ordem para z e depois integrando para achar y.

Passo 2

Definindo
z = y',
temos
z' = y''.
Substituindo em y'' + p(x)\,y'=0 com p(x)=\frac{x-2}{x(x-1)} dá a equação de primeira ordem
z' + \frac{x-2}{x(x-1)}\,z = 0.

Passo 3

Para resolver
z' + \frac{x-2}{x(x-1)}\,z = 0
usamos fator integrante ou reconhecemos que
\frac{dz}{dx} = -\frac{x-2}{x(x-1)}\,z \quad\Longrightarrow\quad \frac{dz}{z} = -\frac{x-2}{x(x-1)}\,dx.
Fazendo frações parciais em
\frac{x-2}{x(x-1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x-1},
temos
x-2 = A(x-1) + Bx \;\Rightarrow\; A=2,\;B=-1,
logo
\frac{x-2}{x(x-1)} = \frac{2}{x} - \frac{1}{x-1}.
Portanto
\int \frac{dz}{z} = -\int\Bigl(\frac{2}{x} - \frac{1}{x-1}\Bigr)dx = -\bigl(2\ln|x| - \ln|x-1|\bigr) + C_1.

Passo 4

Isto implica
\ln|z| = -2\ln|x| + \ln|x-1| + C_1 \quad\Longrightarrow\quad z = y' = C_2\;\frac{x-1}{x^2},
onde C_2=e^{C_1} é constante arbitrária.

Passo 5

Agora integramos y' = C_2\,(x-1)/x^2. Note que
\frac{x-1}{x^2} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x^2},
logo
y = \int y'\,dx = C_2\int\Bigl(\frac{1}{x} - \frac{1}{x^2}\Bigr)dx + C_3 = C_2\bigl(\ln|x| + \tfrac{1}{x}\bigr) + C_3.
No intervalo 0<x<1 podemos descartar os valores absolutos em \ln|x|.

Resposta

A solução geral da equação é
y(x) = C_1\!\bigl(\ln x + \tfrac{1}{x}\bigr) + C_2,
com C_1,C_2 constantes arbitrárias.

Exercícios relacionados