[2 pts ] Classifique como verdadeiro (V) ou falso (F). (Acerto: +0,4. Erro: -0,3. Em branco: 0,0).
(a) ( ) Se \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0 então \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} é convergente.
(b) ( ) A série \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} é divergente.
(c) ( ) A série \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} é divergente.
(d) (\quad) A série \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt[5]{n^{4}}} é divergente.
(e). ( ) Se \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} é convergente então \sum_{n=1}^{\infty}\left|a_{n}\right| é convergente.

Passo 1

O enunciado pede para classificar cinco afirmações sobre séries numéricas como verdadeiras (V) ou falsas (F). Vamos usar os seguintes conteúdos de série:
  1. Condição necessária para convergência ( \lim_{n\to\infty}a_n=0 é necessário, mas não suficiente).
  2. Teste de p-séries: \sum n^{-p} converge se, e somente se, p>1.
  3. Teste de Leibniz para séries alternadas.
  4. Diferença entre convergência condicional e absoluta.

Passo 2

(a) A condição \lim_{n\to\infty}a_n=0 é necessária, mas não garante que \sum_{n=1}^\infty a_n seja convergente. Exemplo: a_n=1/n satisfaz \lim_{n\to\infty}a_n=0 e \sum1/n diverge. Logo, a afirmação é falsa.

Passo 3

(b) A série \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n} satisfaz as hipóteses do teste de Leibniz (os termos em valor absoluto decrescem a zero). Portanto ela converge (condicionalmente). A afirmação de que é divergente é falsa.

Passo 4

(c) A série harmônica \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} é uma p-série com p=1\le1, e sabe-se que diverge. Logo, a afirmação é verdadeira.

Passo 5

(d) A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt[5]{n^{4}}}=\sum_{n=1}^{\infty}n^{-4/5} é uma p-série com p=4/5<1, portanto diverge. A afirmação é verdadeira.

Passo 6

(e) Existem séries convergentes que não convergem absolutamente (convergência condicional), como a série alternada do item (b). Logo, não é verdade que toda série convergente seja absolutamente convergente. A afirmação é falsa.

Resposta

(a) F
(b) F
(c) V
(d) V
(e) F

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