pts
Classifique como verdadeiro
ou falso
. (Acerto:
. Erro:
. Em branco:
.
(a) ( ) Se
então
é convergente.
(b) ( ) A série
é divergente.
(c) ( ) A série
é divergente.
(d)
A série
é divergente.
(e). ( ) Se
é convergente então
é convergente.
(a) ( ) Se
(b) ( ) A série
(c) ( ) A série
(d)
(e). ( ) Se
Passo 1
O enunciado pede para classificar cinco afirmações sobre séries numéricas como verdadeiras (V) ou falsas (F). Vamos usar os seguintes conteúdos de série:
- Condição necessária para convergência (
é necessário, mas não suficiente). - Teste de p-séries:
converge se, e somente se, . - Teste de Leibniz para séries alternadas.
- Diferença entre convergência condicional e absoluta.
Passo 2
(a) A condição
é necessária, mas não garante que
seja convergente. Exemplo:
satisfaz
e
diverge. Logo, a afirmação é falsa.
Passo 3
(b) A série
satisfaz as hipóteses do teste de Leibniz (os termos em valor absoluto decrescem a zero). Portanto ela converge (condicionalmente). A afirmação de que é divergente é falsa.
Passo 4
(c) A série harmônica
é uma p-série com
, e sabe-se que diverge. Logo, a afirmação é verdadeira.
Passo 5
(d) A série
é uma p-série com
, portanto diverge. A afirmação é verdadeira.
Passo 6
(e) Existem séries convergentes que não convergem absolutamente (convergência condicional), como a série alternada do item (b). Logo, não é verdade que toda série convergente seja absolutamente convergente. A afirmação é falsa.
Resposta
(a) F
(b) F
(c) V
(d) V
(e) F
(b) F
(c) V
(d) V
(e) F