Determine se o campo vetorial é conservativo ou não. Se for conservativo, determine uma função f tal que F=nabla f.
F(x, y, z)=3 x y^2 z^2 i+2 x^2 y z^3 j+3 x^2 y^2 z k

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir se o campo vetorial dado é conservativo. Se for, encontraremos uma função $ f $ tal que $ \mathbf{F} = \nabla f $. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas parciais e o rotacional de um campo vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um campo vetorial conservativo. Um campo é conservativo se ele pode ser escrito como o gradiente de alguma função escalar $ f f ãçãçé \nabla \times \mathbf{F} $) do campo seja zero.

Passo 3

Vamos calcular o rotacional de $ \mathbf{F} $. A fórmula do rotacional em coordenadas cartesianas é:
F

Passo 4

Vamos identificar as componentes de $ \mathbf{F} $:
F
Agora, calculamos as derivadas parciais necessárias:
Fx = 3x y^2 z^2, Fy = 2x^2 y z^3, Fz = 3x^2 y^2 z
partial Fzpartial y = 6x^2 y z
partial Fypartial z = 6x^2 y z^2
partial Fxpartial z = 6x y^2 z
partial Fzpartial x = 6x y^2 z
partial Fypartial x = 4x y z^3

Passo 5

Substituindo essas derivadas na fórmula do rotacional:
nabla times F = (6x^2 y z - 6x^2 y z^2) i + (6x y^2 z - 6x y^2 z) j + (4x y z^3 - 6x y z^2) k
Simplificando cada componente:
nabla times F = (6x^2 y z (1 - z)) i + (0) j + (4x y z^3 - 6x y z^2) k

Passo 6

Para que o campo seja conservativo, todo o rotacional deve ser zero. Olhando as componentes:
  • O componente $ \mathbf{i} $ é zero somente se $ z = 1 $ ou $ x = 0 $ ou $ y = 0 $.
  • O componente $ \mathbf{k} $ não é necessariamente zero.
Como o rotacional não é zero em geral, concluímos que o campo vetorial $ \mathbf{F} $ não é conservativo.

Resposta

Não, o campo vetorial $ \mathbf{F} $ não é conservativo.

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