Determine se o campo vetorial é conservativo ou não. Se for conservativo, determine uma função
tal que
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir se o campo vetorial dado é conservativo. Se for, encontraremos uma função $ f $ tal que $ \mathbf{F} = \nabla f $. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas parciais e o rotacional de um campo vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um campo vetorial conservativo. Um campo é conservativo se ele pode ser escrito como o gradiente de alguma função escalar $ f
\nabla \times \mathbf{F} $) do campo seja zero.
Passo 3
Vamos calcular o rotacional de $ \mathbf{F} $. A fórmula do rotacional em coordenadas cartesianas é:
Passo 4
Vamos identificar as componentes de $ \mathbf{F} $:
Agora, calculamos as derivadas parciais necessárias:
Passo 5
Substituindo essas derivadas na fórmula do rotacional:
Simplificando cada componente:
Passo 6
Para que o campo seja conservativo, todo o rotacional deve ser zero. Olhando as componentes:
- O componente $ \mathbf{i} $ é zero somente se $ z = 1 $ ou $ x = 0 $ ou $ y = 0 $.
- O componente $ \mathbf{k} $ não é necessariamente zero.
Como o rotacional não é zero em geral, concluímos que o campo vetorial $ \mathbf{F} $ não é conservativo.
Resposta
Não, o campo vetorial $ \mathbf{F} $ não é conservativo.