Determine (a) o rotacional e (b) o divergente do campo vetorial.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o rotacional e o divergente de um campo vetorial. O campo que foi dado é:
Vamos precisar usar as definições de rotacional e divergente para campos vetoriais. Não se preocupa, vou explicar cada passo!
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o rotacional do campo vetorial
. O rotacional é dado por:
Onde $ F_1 = e^{x} \sin(y) $, $ F_2 = e^{z} \sin(z) $, e $ F_3 = e^{z} \sin(x) $.
Passo 3
Vamos calcular cada componente do rotacional:
- Primeira componente:
Então, a primeira componente é:
Passo 4
- Segunda componente:
Então, a segunda componente é:
Passo 5
- Terceira componente:
Então, a terceira componente é:
Passo 6
Agora, juntando todas as componentes, o rotacional de
é:
Passo 7
Agora, vamos calcular o divergente do campo vetorial
. O divergente é dado por:
Passo 8
Vamos calcular cada derivada parcial:
Passo 9
Somando essas derivadas, o divergente de
é:
Resposta
(a) O rotacional do campo vetorial
é:
(b) O divergente do campo vetorial
é: