Determine (a) o rotacional e (b) o divergente do campo vetorial.
F(x, y, z)=lang<= e^x sin (y), e^z sin (z), e^z sin (x)rang<=

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o rotacional e o divergente de um campo vetorial. O campo que foi dado é:
F(x, y, z) = lang<= e^x sin (y), e^z sin (z), e^z sin (x) rang<=
Vamos precisar usar as definições de rotacional e divergente para campos vetoriais. Não se preocupa, vou explicar cada passo!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o rotacional do campo vetorial F. O rotacional é dado por:
nabla times F = ( partial F3partial y - partial F2partial z, partial F1partial z - partial F3partial x, partial F2partial x - partial F1partial y )
Onde $ F_1 = e^{x} \sin(y) $, $ F_2 = e^{z} \sin(z) $, e $ F_3 = e^{z} \sin(x) $.

Passo 3

Vamos calcular cada componente do rotacional:
  • Primeira componente:
partial F3partial y = partialpartial y( e^z sin(x) ) = 0
partial F2partial z = partialpartial z( e^z sin(z) ) = e^z sin(z) + e^z cos(z)
Então, a primeira componente é:
0 - (e^z sin(z) + e^z cos(z)) = -e^z (sin(z) + cos(z))

Passo 4

  • Segunda componente:
partial F1partial z = partialpartial z( e^x sin(y) ) = 0
partial F3partial x = partialpartial x( e^z sin(x) ) = e^z cos(x)
Então, a segunda componente é:
0 - e^z cos(x) = -e^z cos(x)

Passo 5

  • Terceira componente:
partial F2partial x = partialpartial x( e^z sin(z) ) = 0
partial F1partial y = partialpartial y( e^x sin(y) ) = e^x cos(y)
Então, a terceira componente é:
0 - e^x cos(y) = -e^x cos(y)

Passo 6

Agora, juntando todas as componentes, o rotacional de F é:
nabla times F = lang<= -e^z (sin(z) + cos(z)), -e^z cos(x), -e^x cos(y) rang<=

Passo 7

Agora, vamos calcular o divergente do campo vetorial F. O divergente é dado por:
nabla cdot F = partial F1partial x + partial F2partial y + partial F3partial z

Passo 8

Vamos calcular cada derivada parcial:
partial F1partial x = partialpartial x( e^x sin(y) ) = e^x sin(y)
partial F2partial y = partialpartial y( e^z sin(z) ) = 0
partial F3partial z = partialpartial z( e^z sin(x) ) = e^z sin(x)

Passo 9

Somando essas derivadas, o divergente de F é:
nabla cdot F = e^x sin(y) + 0 + e^z sin(x) = e^x sin(y) + e^z sin(x)

Resposta

(a) O rotacional do campo vetorial F é:
nabla times F = lang<= -e^z (sin(z) + cos(z)), -e^z cos(x), -e^x cos(y) rang<=
(b) O divergente do campo vetorial F é:
nabla cdot F = e^x sin(y) + e^z sin(x)

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